第 35 讲 简单递推数列【学习目标】 了解递推公式是给出数列的一种方法，掌握几种简单的将递推数列问题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径，从而培养并提升学生的转化化归思想和能力． 【基础检测】 1．在数列{an}中，若 a1＝1，且 an＋am＝an＋m(n，m∈N*)，则 an＝( ) A．n B．2n C．n2 D．n3 A 【解析】n＝m＝1 时，a2＝a1＋1＝2，n＝1，m＝2时，a3＝a2＋1⇒ an＋1＝an＋1⇒ {an}为等差数列⇒ an＝1＋(n－1)＝n. 2．在数列{bn}中，b1＝2，且 bnbm＝bn＋m，则 bn＝( ) A．n B．n2 C．2n D．n·2n C 【解析】n＝m＝1 时，b2＝b1·b1＝4，bn＋1＝bn·b1＝2bn. 故{bn}是首项为 b1＝2，公比为 q＝2 的等比数列，bn＝2·2n－1＝2n. 3．已知数列{an}(n∈N*)中，a1＝1，an＋1＝an2an＋1， 则 an＝ ． 12n－1 【解析】由于 1an＋1＝ 1an＋2， 所以 1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，an＝12n－1. 4．数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为 an＝___________． 2n － 1 【解析】由 an＝2an－1＋1 得 an＋1＝2(an－1＋1) ∴an＋1＝(a1＋1)×2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 【知识要点】 1．递推数列的概念 如果已知数列{an}的第 1 项(或前 k 项)，且任一项an 与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的______________；由递推公式确定的数列叫做递推数列． 2．已知数列的递推关系求通项 一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代． 递推公式 一、累加、累乘法求通项 例1(1)已知数列{an}满足 a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，求 an. (2)已知数列{an}满足 a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，求 an. 【解析】(1)由条件知：an＋1－an＝1n2＋n＝1n（n＋1）＝1n－ 1n＋1 分别令 n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式累加之，即(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝1－12 ＋12－13 ＋13－14 ＋…＋1n－1－1n 所以 an－a1＝1－1n. a1＝12，∴an＝12＋1－1n＝32－1n. (2)由已知，得 an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan，用此式减去已知式，得当 n≥2 时，an＋1－an＝nan， 即 an＋1＝(n＋1)an，又 a2＝a1＝1， ∴a1＝1，a2a1＝1，a3a2＝3，a4a3＝4，…，...
