《3.7-点到平面的距离》同步练习VIP免费

《3.7 点到平面的距离》同步练习1．若 O 为坐标原点，OA＝(1，1，－2)，OB＝(3，2，8)，OC＝(0，1，0)，则线段 AB 的中点 P到点 C 的距离为( )．A. B．2 C. D.解析 由题意 OP＝(OA＋OB)＝，PC＝OC－OP＝(－2，－，－3)，PC＝|PC|＝ ＝.答案 D2．如右图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面ABC1D1的距离是( )．A. B.C. D.解析 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则有 D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1). 因 O 为 A1C1的中点，所以 O，C1O＝，设平面 ABC1D1的法向量为 n＝(x，y，z)，则有即取 n＝(1，0，1)，∴O 到平面 ABC1D1的距离为：d＝＝＝.答案 B3．在直角坐标系中，设 A(－2，3)，B(3，－2)，沿 x 轴把直角坐标平面折成 120°的二面角后，则 A、B 两点间的距离为( )．A．2 B. C. D．3解析 如图，AB＝AE＋EF＋FB，ABＫ 2＝AEＫ 2＋EFＫ 2＋FBＫ 2＋2AE·EF＋2AE·FB＋2EF·FB＝AEＫ 2＋EFＫ 2＋FBＫ 2＋2AE·FB＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44.∴|AB|＝2.答案 A4．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长是 1，则直线 DA1与 AC 间的距离为________．答案 5．若平面 α 的一个法向量为 u1＝(－3，y，2)，平面 β 的一个法向量为 u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则 y＋z＝________．解析 α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案 －36．如图所示，已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形，点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点，求：(1)PM与FQ所成的角；(2)P 点到平面 EFB 的距离．解 建立空间直角坐标系，使得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得 P，Q，(1)所以PM＝，FQ＝，PM·FQ＝×＋0＋×(－a)＝－a2，且|PM|＝a，|FQ|＝a，所以 cosPM，FQ＝＝＝－，故得两向量所成的角为 150°.(2)设 n＝(x，y，z)是平面 EFB 的单位法向量，即|n|＝1，n⊥平面 EFB，所以 n⊥EF，且n⊥BE，又EF＝(－a，a，0)，BE＝(0，－a，a)，即由得其中的一组解是∴n＝，PE＝，设所求距离为 d，则 d＝|PE·n|＝a.7．如图所示，在直二面角 D－AB－E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，...