第 七 节 圆锥曲线的综合问题 ( 理 ) 重点难点 重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定，弦长与距离的求法 难点：直线与圆锥曲线相交弦长与中点弦问题 知识归纳 1．直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式 Δ来讨论交点个数. 相交 Δ>0 直线与圆锥曲线有两个交点 相切 Δ＝0 直线与圆锥曲线有一个切点 相离 Δ<0 直线与圆锥曲线无公共点 2.直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋ 1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时，通常作如下 变 形 |x2 － x1| ＝x1＋x22－4x1x2 ， |y2 － y1| ＝y1＋y22－4y1y2，使用韦达定理即可解决． (2)当斜率 k 不存在时，直线为 x＝m 的形式，可直接代入求出交点的纵坐标 y1、y2 得弦长|y1－y2|. 误区警示 1．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情形．为了避免讨论，过焦点 F(c,0)的直线，可设为x＝my＋c. 2．解方程组 Ax＋By＋C＝0fx，y＝0时，若消去 y，得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0，这时要考虑 a＝0 和 a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除 a≠0，Δ＝0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点． 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只能得到一个一次方程． 一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题． [例 1] 如图所示，给出定点 A(a,0)(a>0)和直线 l：x＝－1. B 是直线 l 上的动点，∠BOA 的平分线交 AB 于点 C. 求点 C 的轨迹方程． 解析：OA→ ＝(a,0)，设OB→ ＝(－1，b)，OC→ ＝(x，y)(0≤x
