第二部分命题热点大揭秘命题区间四不等式推理与证明算法 命 题 热 点 一 命 题 热 点 二 命 题 热 点 三 命 题 热 点 四 命 题 热 点 五 不等式是高中数学的传统内容，也是高考考查的重点和难点，它渗透到中学数学课本的各个章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其他数学问题的一种有力工具．推理与证明，算法一般要求不高，本部分内容高频考点是：不等式的解法、简单的线性规划问题、不等式的综合应用、推理与证明、算法等．—— 彭一朋[ 例 1] (2012· 皖南八校联考 ) 设函数 f(x) ＝ xm ＋ ax 的导函数 f′(x) ＝ 2x ＋ 1 ，则不等式 f( － x)<6 的解集是 ( )A ． {x| － 23 或 x< － 2} D ． {x|x>2 或x< － 3}[ 解析 ] 应先依题意求出 f(x) 的表达式，再解不等式．由于 f(x) ＝ xm ＋ ax 的导函数 f′(x) ＝ 2x ＋1 ，所以 f(x) ＝ x2 ＋ x ，于是 f( － x)<6 ，即 x2 －x － 6<0 ，解得－ 20 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围 是 ( ) A．(－235 ，＋∞) B．[－235 ，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－235 ) 答案： A解析：由 Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0，解得 a>－235 . 2 ．已知函数 f(x) ＝ (x ＋ 2)|x － 2|.(1) 若不等式 f(x)≤a 在 [ － 3,1] 上恒成立，求实数 a的取值范围；(2) 解不等式 f(x)>3x.解： (1) 当 x∈[ － 3,1] 时， f(x) ＝ (x ＋ 2)|x － 2|＝ (x ＋ 2)(2 － x) ＝－ x2 ＋ 4 ，由于－ 3≤x≤1 ，所以 0≤x2≤9.于是－ 5≤ － x2 ＋ 4≤4 ，即函数 f(x) 在 [ － 3,1] 上的最大值等于 4 ，因此要使不等式 f(x)≤a 在 [ － 3,1] 上恒成立，应有 a≥4.(2) 不等式 f(x)>3x ，即 (x ＋ 2)|x － 2| － 3x>0.当 x≥2 时，原不等式等价于 x2 － 4 － 3x>0 ，解得 x>4 或 x< － 1 ，又因为 x≥2 ，所以 x>4.当 x<2 时，原不等式等价于 4 － x2 － 3x>0 ，即 x2 ＋ 3x － 4<0 ，解得－ 44 ，或－ 4
