第 3 讲 推理与证明 感悟高考 明确考向 (2010·福建)观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________. 解析 观察各式容易得 m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为 1，故有 m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将 m＝512 代入得 n＋p＋350＝0. 对于等式⑤，令 α＝60°，则有 cos 600°＝512· 1210－1 280·128＋1 120·126＋ 116n＋14p－1，化简整理得 n＋4p＋200＝0， 联立方程组 n＋p＋350＝0，n＋4p＋200＝0， 得 n＝－400，p＝50. ∴m－n＋p＝962. 答案 962 考题分析 本题主要考查合情推理的应用．突出考查归纳推理的思路、方法和技巧．体现了对考生观察、抽象归纳和概括能力的考查． 易错提醒 (1)找不准归纳的对象．如 m 的位置在最高次幂的系数位置．因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p 是cos2α的系数，所以从 cos2α 的系数入手进行归纳．n却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,18，－32，p 的规律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1·n·(2n)＝(－1)n＋12n2. ∴p＝(－1)6·2×52＝50. 主干知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②归纳推理的思维过程如下： (2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②类比推理的思维过程如下： 2．演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般性原理． ②小前提——所研究的特殊情况． ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看...
