第 3 讲 推理与证明 感悟高考 明确考向 (2010·福建)观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1
可以推测，m－n＋p＝________
解析 观察各式容易得 m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为 1，故有 m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将 m＝512 代入得 n＋p＋350＝0
对于等式⑤，令 α＝60°，则有 cos 600°＝512· 1210－1 280·128＋1 120·126＋ 116n＋14p－1，化简整理得 n＋4p＋200＝0， 联立方程组 n＋p＋350＝0，n＋4p＋200＝0， 得 n＝－400，p＝50
∴m－n＋p＝962
答案 962 考题分析 本题主要考查合情推理的应用．突出考查归纳推理的思路、方法和技巧．体现了对考生观察、抽象归纳和概括能力的考查． 易错提醒 (1)找不准归纳的对象．如 m 的位置在最高次幂的系数位置．因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p 是cos2α的系数，所以从 cos2α 的系数入手进行归纳．n却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,18，－32，p 的规律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1·n·(2n)＝(－1)n＋12n2
∴p＝(－1)6·
