第 67 讲 双曲线 【学习目标】 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解双曲线的实际背景及其简单应用． 【基础检测】 1．设 F1、F2 分别是双曲线 x2－y29＝1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( ) A．5 B．3 C．7 D．3 或 7 【解析】 ||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7 或 3. D 2．已知 m>0，直线 y＝34x 是双曲线x24 － y2m2＝1 的渐近线，则 m 等于( ) A.32 B.3 32 C.83 D.163 【解析】双曲线x24 － y2m2＝1 的渐近线为x24 － y2m2＝0，即 y＝±m2x，又 m>0，故直线 y＝34x 就是直线 y＝m2x，得34＝m2，所以 m＝32. A 3．如图，已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、B 为左、右焦点，且双曲线过 C、D 两顶点．若 AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为___________． 【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意得 B(2，0)，C(2，3)，∴a2＋b2＝44a2－ 9b2＝1，解得a2＝1b2＝3，∴双曲线的标准方程为 x2－y23＝1. 2213yx 4．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，P 为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率 e 的取值范围是____________． 【解析】设 F1、F2 分别是左、右焦点，则点 P 为右支上一点，如图．依据双曲线定义知： |PF1|－|PF2|＝2a，则 3|PF2|－|PF2|＝2a，则 a＝|PF2|≥c－a， 所以 2a≥c，∴e＝ca≤2，又 e＞1，则 1＜e≤2. （ 1 ， 2 】 【知识要点】 1．双曲线的定义 平面内到两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫 做 _____________ ． 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的_______，两焦点间的距离叫做双曲线的___________． 双曲线 焦点 焦距 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0) 图形 范围 x≥______或 x≤______, y∈R x∈R，y≤－a 或y≥a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±bax y＝±abx 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 离心率 e＝ca，e∈___________，其中 c＝ a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2...
