§4 函数与导数 [考情解读] 以函数为载体，以导数为工具，考查函数图象、极(最)值、单调性及其应用为目标，是最近几年函数、导数及不等式交汇试题的显著特点和命题趋向． 常考的题型为：(1)导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等．命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想． (2)导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题． (3)导数与函数模型的交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力． 要解决这类问题关键是要先让学生理解函数的概念，掌握好各类函数的结构特征和基本性质，并能将其用于解决具体问题之中．要让学生形成函数思想，真正树立函数观念和变量意识，并能主动利用导数、方程、不等式处理问题，让他们能够在具体问题中顺利实施有效的化归与转化．重视逻辑推理，加强逻辑命题的结构分析和命题转化训练(如当且仅当、存在、恒成立、能成立等语言涵义理解)加强实际运用，提高综合应用能力．多研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参数字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法、放缩法等常见的证明方法． 分类突破 热点一 函数的单调性、最值、极值问题 例 1 已知函数 f(x)＝2ax－a2＋1x2＋1(x∈R)．其中 a∈R. (1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当 a≠0 时，求函数 f(x)的单调区间与极值． [规范解答示例] 解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝ 2xx2＋1，f(2)＝45， 又 f′(x)＝2(x2＋1)－2x·2x(x2＋1)2＝ 2－2x2(x2＋1)2，f′(2)＝－ 625. 2 分 所以，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－45＝－ 625(x－2)，即 6x＋25y－32＝0. 4 分 (2)f′(x)＝2a(x2＋1)－2x(2ax－a2＋1)(x2＋1)2＝－2(x－a)(ax＋1)(x2＋1)2.5 分 由于 a≠0，以下分两种情况讨论． ①当 a＞0，令 f′(x)＝0，得到 x1＝－1a，x2＝a. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1a) －1a (－1a，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 极大值...
