1 / 7 哈尔滨工业大学2007 级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分 50 分）注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵
一、填空题（每小题2 分，共 10 分） 1 ．若矩阵满足，则的特征值只能是
2 ．在空间直角坐标系中方程的图形是
3 ．向量组的秩为 4 ．若矩阵满足，是行满秩阵，则
5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为
二、选择题（每小题2 分，共 10 分） 1 ．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）
2 ．设有维列向量组（ I）; 可由向量组（ II）线性表示，则【】（A）若（ I）线性无关，则（ II）线性无关；（B）若（ I）线性相关，则（ II）线性相关；2 / 7 （C）若（ I）线性无关，则；（D）若（ II）线性无关，则
3 ．设，则必有【】（A）是正交阵；（B）是正定阵；（C）是对称阵；（D）
4 ．实二次型正定的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）
5 ．设, B 都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（A）若 A 与 B 等价，则 A 与 B 相似；（B）若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同；（C）若 A 与 B 合同，则 A 与 B 相似；（D）若 A 与 B 等价，则 A 与 B 合同
三、（本题 5 分）已知列向量组是的基，也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标
四、（本题 5 分）设矩阵与相似，求
五、（本题 6 分）已知，其中，求
六、（本题 6 分）3 / 7 已知三阶实对称矩阵A 的每行元素之和都等于2，且秩
（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵
（2）求, 其中 m 是大于等于 1 的自然数
七、（本题 5 分）设是阶方阵，
