1 / 7 哈尔滨工业大学2007 级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分 50 分）注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵 .一、填空题（每小题2 分，共 10 分） 1 ．若矩阵满足，则的特征值只能是 . 2 ．在空间直角坐标系中方程的图形是 . 3 ．向量组的秩为 4 ．若矩阵满足，是行满秩阵，则 .5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为.二、选择题（每小题2 分，共 10 分） 1 ．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）. 2 ．设有维列向量组（ I）; 可由向量组（ II）线性表示，则【】（A）若（ I）线性无关，则（ II）线性无关；（B）若（ I）线性相关，则（ II）线性相关；2 / 7 （C）若（ I）线性无关，则；（D）若（ II）线性无关，则. 3 ．设，则必有【】（A）是正交阵；（B）是正定阵；（C）是对称阵；（D）. 4 ．实二次型正定的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）. 5 ．设, B 都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（A）若 A 与 B 等价，则 A 与 B 相似；（B）若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同；（C）若 A 与 B 合同，则 A 与 B 相似；（D）若 A 与 B 等价，则 A 与 B 合同.三、（本题 5 分）已知列向量组是的基，也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标 .四、（本题 5 分）设矩阵与相似，求.五、（本题 6 分）已知，其中，求.六、（本题 6 分）3 / 7 已知三阶实对称矩阵A 的每行元素之和都等于2，且秩.（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵.（2）求, 其中 m 是大于等于 1 的自然数 .七、（本题 5 分）设是阶方阵，，试证：若存在自然数使，则.八、（本题 3 分）设实矩阵，，是的列向量组 . 实向量是齐次线性方程组的基础解系 . 试证：向量组线性无关 .参考答案一、填空题1、 2. 2 、双叶双曲面 . 3 、 4 、. 5 、. 二、选择题1、A. 2 、C. 3 、 D. 4 、B. 5 、B. 三、 解： 由知由基到基的过渡矩阵为在基下的坐标为4 / 7 四、解： 由与相似，知是的特征值，所以，. 进而，由此得解得. 五、解：. 由，得，整理得. 由知可逆，且，故. 5 / 7 六、解： （1）因的每行元素之和都等于2，所以是的属于特征值2 的特征向量 ....
