第二十四章 圆专题 38 圆中的长度计算武汉专版 · 九年级上册一、利用含特殊角的直角三角形三边关系求解1 ．如图，在⊙ O 的内接△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30° ， AC 的延长线与过点 B 的⊙ O 的切线相交于点 D ，若⊙ O 的半径 OC ＝ 1 ， BD∥OC ，求 CD 的长 . 2 ．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 60° ，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，过点 A 作⊙ O 的切线，交 CO 的延长线于点 M ， CM 交⊙ O 于点 D.(1) 求证： AM ＝ AC ；(2) 若 AC ＝ 3 ，求 MC 的长．【解析】过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，连接 OB，则四边形 BOCE 为正方形，易证△OAC 为等边三角形，∠ECD＝30°，CE＝1，∴CD＝2ED＝2 33.【解析】(1)连接 OA，∵AM是⊙O 的切线，∴∠OAM＝90°.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC.(2)作 AG⊥CM 于点 G，∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝32，由勾股定理得 CG＝3 32，则 MC＝2CG＝3 3.二、利用勾股定理求解3 ．如图， EB 是⊙ O 的直径， A 是 BE 的延长线上一点，过点 A 作⊙ O 的切线 AC ，切点为 D ，过点 B作⊙ O 的切线 BC ，交 AC 于点 C ，若 EB ＝ BC ＝ 6 ，求 AD ， AE 的长．【解析】连接 OD，则 OD＝OE＝OB＝3，CD＝CB＝6，设 AE＝x，AD＝y，则由勾股定理得32＋y2＝（x＋3）2，（x＋6）2＋62＝（y＋6）2，解得 x＝－6，y＝0，或 x＝2，y＝4.∴AD＝4，AE＝2.4 ．有这样一道几何题：以 Rt△ABC 的直角边 AC 为直径作圆，交斜边 AB 于点 D ，过点 D 作圆的切线．求证：这条切线平分另一条直角边 BC.现将上述习题改变成如下问题，请你解答：如图，以 Rt△ABC 的直角边 AC 为直径作⊙ O ，交斜边 AB 于点 D ， E 为 BC 边的中点，连接 DE.(1) 判断 DE 是否为⊙ O 的切线，并证明你的结论；(2) 当 AD∶DB ＝ 9∶16 时， DE ＝ 8 cm 时，求⊙ O 的半径．【解析】(1)DE 是⊙O 的切线．理由：连接 OE，OD，CD.∵在 Rt△CDB 中，E 为 BC 边的中点，∴CE＝DE.∵OD＝OC，OE 是公共边，∴△OEC≌△OED.∴∠ODE＝∠OCE＝90°.∴DE是⊙O 的切线．(2)设 AD＝9x(x＞0)，则 BD＝16x，OA＝OC＝OD＝r，则 CD2＝(2r)2－(9x)2＝162－(16x)2，且(2r)2＋162＝(25x)2，解得 x1＝45，x2＝－45(舍)，r1＝6，r2＝－6(舍)，∴⊙O 的半径为 6 cm.
