评析问题 217：近似图像导致尽失真相张元方（四川省宜宾市商职校 644000） 原题：已知函数，．求方程在区间内解的个数． 问题提供者的解法 1 和解法 2 都是将方程的根转化为两个函数图像的交点来判断．解法1 是将方程的根转化为与的交点个数来判断，解法 2 是将方程的根转化为与的交点个数来判断．水平直线与的交点，仅根据的 单 调 性 就 容 易 判 断 ， 所 以 解 法 2 是 正 确 的 ， 而 “ 斜 线 ”与的交点仅根据的单调性是不够的，必须更精确的画出此函数图像的性态．解法 1 就是因为画图不精导致的错误． 事 实 上 ， 由 解 法 1 知 ：在上 是 增 函 数 ， 同 时 又 因 为，当时，，，，在上是凸函数．于是我们可以作出更精确的图像，如图 1．由于在上是增的，凸函数，于是与在区间内可能有相切的情况．下面我们来求直线与相切时的切点坐标和切线方程，设切点为，于是切线斜率为，切线方程为，又切线过原点，，，，所以切点为，切线为．于是直线与()的位置关系如图 2 所示，其中点xyO图11，于是．根据图 2，可知：当时，原方程没有实根；当或时，原方程有且只有一个实根；当时，原方程有两个实根，从而得到与解法 2 一致的正确答案．鉴于高中阶段未涉及利用二阶导数判断函数的凹凸性，所以本题利用解法 2 这种参数分离法较好．问题反思：数形结合的思想，实质上是把抽象的问题与形象化的原型结合起来，通过直观的原型的思维，化抽象为直观，化难为易．反过来，给直观图形问题以计算推证，从而给人们以精确化的,理性化的理解．数形结合的思想，正是把“最活跃的形象思维”与“最严密的逻辑思维、代数推导”结合起来理解问题，解决问题的思想方法．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”解法 1 正是“形”少“数”而导致的错误．此题告诫我们：近似图形必须要辅之以数，才能作出准确的判断．作者简介：本人张元方，男，74 年 9 月出生，98 年毕业于重庆师范大学数学系，现在四川省宜宾市商职校从事数学教学，中学一级教师。通讯地址：四川省宜宾市翠屏区南岸长江大道中段 20 号区社保局 张妍收 邮编：644000联系电话：13778932060 E—mail：zyf780206@126.comxyCAe图2e1e1OB
