第二十四章 圆专题 35 圆的内心、外心武汉专版 · 九年级上册1 ．三角形三边垂直平分线的交点是三角形的 ( )A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心2 ．如图， O 是△ ABC 的内心，∠ BOC ＝ 120° ，则∠ BAC ＝ ____ 度．3. 如图，在△ ABC 中，点 I 是内心，若∠ A ＝ 80° ，则∠ DEF ＝ ____ 度．A60504 ．已知△ ABC 的外心为点 O ，且 BO ＋ AO ＝ 6 ，则 CO 的长为 ____ ．5 ． ( 易错题 ) 若 O 为△ ABC 的外心，且∠ BOC ＝ 60° ，则∠ BAC ＝ ___________ ．6 ．在锐角△ ABC 中， O 为外心， I 为内心，若∠ BOC ＝ 70° ，则∠ BIC ＝ _______.7 ．如图， PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ， OP 交⊙ O 于 E. 求证：点 E 是△ PAB 的内心．【解析】如图，连接 AE ， AO ， BO ， BE. 易证△ APOBPO.PAB≌△∵∠＋∠ BAO ＝ 90° ，∠ BAO ＋∠ POA ＝ 90° ，∴∠ PAB ＝∠ POA ＝ POB. 又∠ POB ＝ 2 EAB∠，∴∠ PAB ＝ 2 EAB∠，∴ EA 平分∠ PAB. 同理， EB 平分∠ PBA. 又 PO 平分∠ APB ，∴点 E 是△ PAB 的内心．330° 或 150°107.5°8 ． ( 武汉元调 ) 小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图①，在⊙ O 中， OM⊥ 弦 AB于点 M ， ON⊥ 弦 CD 于点 N ，若 OM ＝ ON ，则 AB ＝ CD.(1) 请帮小雅证明这个结论；(2) 运用以上结论解决问题：如图②中，在 Rt△ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ， O 为△ ABC 的内心，以 O 为圆心， OB 为半径的⊙ O 与△ ABC 三边分别相交于点 D ， E ， F ， G. 若 AD ＝ 9 ， CF ＝ 2. 求△ ABC 的周长．【解析】 (1) 如图①，连接 OA ， OC ，可证 Rt AOM Rt CON(HL)△≌△，∴ AM ＝ CN. 又∵ OMAB⊥，ONCD⊥，∴ AB ＝ 2AM ， CD ＝ 2CN ，∴ AB ＝ CD.(2) 如图②，过 O 点作△ ABC 三边的垂线，垂足分别为 P 、 M 、 N ，连接 OA 、 OC ，∵ O 为△ABC 的内心，∴ OP ＝ OM ＝ ON ，由 (1) 得 DB ＝ BE ＝ GF ，∴ DP ＝ PB ＝ BM ＝ ME ＝ FN ＝ NG ，可证 Rt OAP Rt OAN(HL)△≌△， Rt OCM Rt OCN(HL)△≌△，∴ AP ＝ AN ， CM ＝ CN ，∴ AD ＝ AG ＝ 9 ，CE ＝ CF ＝ 2 ，设 BD ＝ x ，则 AB ＝ 9 ＋ x ， BC ＝ 2 ＋ x ， AC ＝ 11 ＋ x ， Rt ABC△中∠ ABC ＝ 90° ，∵ AC2 ＝ AB2 ＋ BC2 ，∴ (11 ＋ x)2 ＝ (9 ＋ x)2 ＋ (2 ＋ x)2 ，∴ x2 ＝ 36 ，∴ x ＝ 6 ，∴△ ABC 的周长＝ 9 ＋ x ＋ 2 ＋ x ＋ 11 ＋ x ＝ 3x ＋ 22 ＝ 40.
