一道 2010 年江苏高考题的推广张元方（四川省宜宾市商职校 644000）2010 年江苏高考题第 18 题为：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左,右顶点为，右焦点为.设过点的 直 线与 此 椭 圆 分 别 交 于 点， 其 中.（1）略；（2）略；（3）设，求证：直线必过 轴上的一定点（其坐标与无关）.经笔者研究发现以上第（3）问的结论可以推广到一般的圆锥曲线.本文将给出如下推广结论（ 以下 皆为任意常数）.结论 1 如图 1，已知椭圆的左,右顶点为.设是直线上任一点，过点的直线与此椭圆分别交于点，则直线必过 轴上的定点.证明 当时，易知直线过轴上的定点，即.当时，由题设知，直线的 方 程 为， 直 线的 方 程 为. 点满 足，代 入 得， 即， 因 为， 则，整理得，从而得图1x=tXTBDNMOYA，即，同理可得.又由两点式得直线的方程为，令，得直线与 轴的交点横坐标为.将的坐标分别代入得.即直线必过 轴上的定点.所以结论 1 成立.结论 2 如图 2，已知双曲线的左,右顶点为.设是 直 线上 任 一 点 ， 过 点的 直 线与 此 双 曲 线 分 别 交 于 点，则直线必过 轴上的定点.证明 当时，易知直线过 轴上的定点，即.当时，由题设知，直线的方程为，直线的 方 程 为. 点满 足，代入得，即， 因 为， 则， 整 理 得，从而得，即，同理可得.又由两点式得直线的方程为，令，得直线与 轴的交点横坐标为.将的坐标分别代入得图2x=tTBNDXYOAM.即直线必过 轴上的定点.所以结论 2 成立.结论 3 如图 3，已知抛物线的顶点为.设是直线上任一点，过点的直线与此抛物线交于点，平行于 轴，与此抛物线交于点，则直线必过 轴上的定点.证明 当时，易知直线过 轴上的定点，即.当时，直线的方程为，的方程为.的坐标满足，得，因为，则，从而，即，容易知道， 将的 坐 标 代 入得.即直线必过 轴上的定点.所以结论 3 成立.特别地，当结论 1,2，3 中的直线分别是椭圆，双曲线，抛物线的准线时，我们得到如下特殊情况：结论 4 已知椭圆的左,右顶点为.设是右准图3x=tDNMOTYX线（或左准线）上任一点，过点的直线与此椭圆分别交于点，则直线必过右焦点(或左焦点).结论 5 已知双曲线的左,右顶点为.设是右准线（或左准线）上任一点，过点的直线与此双曲线分别交于点，则直线必过右焦点(或左焦点).结论 6 已知抛物线的顶点为.设是准线上任一点，过点的直线与此抛物线交于点，平行于 轴...
