漫谈高数——泰勒级数的物理意义数据与算法之美 数 据 与 算 法 之 美高等数学干嘛要研究级数问题？是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。提一个问题，99*99 等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么 995*998 呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y 这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程 g(x)=0 的解，写成曲线方程的形式看看和 X 轴有什么交 点。例如 f(x)=x^2=5 等价于 g(x)=x^2-5=0 和 x 轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2 次切线+... + N 次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第 N 项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取 N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以 n!，因为 x^n 取导数会产生 n!的系数。泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从 1 阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2 ，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)再求不定积分 f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C 就是那个高阶无穷小(需要证明）所以 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3 依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来 g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)...... 就 得 到 所 有 的 a0-an 的 泰 勒 展示系数了。泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的 x 取值，可以求它附近的函数。y=xA100 ...
