一、点的轨迹1.（2016·青海西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作ADx∥轴，作CDAD⊥于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ADx∥轴，DAO+AOD=180°∴∠∠，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+BAD=BAD+DAC=90°∠∠∠，∴∠OAB=DAC∠，在△OAB和△DAC中，，∴△OABDAC≌△（AAS），∴OB=CD，∴CD=x， 点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．2.（2016·四川眉山）如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AEy⊥轴，垂足为E，过点C作CFy⊥轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFCAEO∽△，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．【解答】解： 双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，1连接OC，如图所示， △ABC是等边三角形，OA=OB，∴OCAB⊥．∠BAC=60°，∴tanOAC=∠=，∴OC=OA，过点A作AEy⊥轴，垂足为E，过点C作CFy⊥轴，垂足为F， AEOE⊥，CFOF⊥，OCOA⊥，AEO=OFC∴∠∠，∠AOE=90°FOC=OCF﹣∠∠，∴△OFCAEO∽△，相似比，∴面积比， 点A在第一象限，设点A坐标为（a，b）， 点A在双曲线上，∴SAEO△=ab=，∴SOFC△=FC•OF=，∴设点C坐标为（x，y）， 点C在双曲线上，∴k=xy， 点C在第四象限，∴FC=x，OF=y﹣．FC•OF=x•∴（﹣y）=xy=﹣﹣，故答案为：﹣3．3.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。依题意画出图形，如图所示．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如图所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π；4.（2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．2【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由： 四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°． DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．5．（2016·南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBCPAM∽△，延长BP交AD于点N，连结CM．（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：APBN⊥；AM=AN；（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBCPAM∽△的点M在AB的延长线上时，APBN⊥...
