高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋⋯＋ 99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝⋯＝ 49＋52＝50＋51。1～100 正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（ 1+100）× 100÷2＝5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列 ”的求和问题。若干个数排成一列称为数列 ，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项 ，最后一项称为 末项 。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列 ，后项与前项之差称为公差 。例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（ 3）8，15，22， 29，36，⋯， 71。其中（ 1）是首项为1，末项为 100，公差为1 的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项 +末项）×项数÷2。]例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝分析与解 ：这串加数1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首项是1，末项是 1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得原式 =（ 1＋1999）× 1999÷2＝1999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2 11＋12＋13＋⋯＋ 31＝分析与解 ：这串加数11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首项是11，末项是 31，共有 31-11＋1＝21（项）。原式 =（11+31）× 21÷2=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数 =（末项 -首项）÷公差 +1，末项 =首项 +公差×（项数 -1）。例 3 3＋7＋11＋⋯＋ 99＝分析与解 ：3，7， 11，⋯， 99 是公差为 4 的等差数列，项数 =（99－3）÷ 4＋1＝25，原式 =（3＋99）× 25÷2＝1275。例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前40 项的和。解：末项 =25＋3×（ 40-1）＝ 142，和=（25＋142）× 40÷2＝ 3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米 2，边长是...
