圆系方程的应用及要点VIP专享VIP免费

圆系方程的应用及要点1. 引子题: 求经过两条曲线x2+y2+3x y=0 和 3x2+3y2+2x+y=0 交点的直线方程. 常规解法是 : 联立方程)2(0233)1(032222yxyxyxyx求方程组解)3(047)2(3)1(yx得得代入即),1(,47 xy.137134;003134,0,0473164922112122yxyxxxxxxx），得分别代入（解得即两交点坐标为A(0,0), ).137,134(B过两交点的直线方程为7x 4y=0. (4) 观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态 (3)是一样的 .这个是不是普遍规律,本质是什么 ? 2. 曲线系方程由上面 (1),(2) 得到 (3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢?我们可得以下结论结论 1: 如果两条曲线方程是f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x0,y0),则方程 f 1(x,y)+ λ f 2(x,y)=0 的曲线也经过P(x0,y0) (是任意常数 ). 此结论即由联立方程)6(0),()5(0),(21yxfyxf得到)7(0),(),(21yxfyxf只须将（ x 0,y0）代入（ 7），可立即证明。有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。例 2 (课本 P70.13 题) 求经过两圆x2+y2+6x 4=0 和 x2+y2+6y 28=0 的交点 ,并且圆心在直线x y 4=0 上的圆的方程 . 解: 构造方程x2+y2+6x 4+λ (x2+y2+6y 28)=0 即 (1+λ )x2+(1+ λ )y2+6x+6 λ y (4+28λ )=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(当该圆心在直线x y 4=0 上时 ,即.7,041313得∴ 所求圆方程为x2+y2 x+7y 32=0 例 3：（P81.14 题）求证：两椭圆b2x2+a2y2=a2b2, a2x2+b2y2=a2b2 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。解：将已知的两椭圆方程相加，得2222222babayx此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。即原题得证。3. 反例由以上分析可以看出,利用曲线系解题,可以快速求解 ,但有时却是失效的. 例 4: 求以圆 x2+y2=5 与抛物线y2=4x 的公共弦为直径的圆的方程. 常规解法 :联立方程xyyx45222以这两点为直径的圆的方程是4)1(22yx. 如果用曲线系分析，构造方程0)4()5(222xyyx即054)1(22xyx(8) 显然 ,λ =0 不是所求圆方程,而在 λ ≠ 0 时,方程 (8)已不是圆方程了. ∴ 由(8)得不出所求结果. 4. 重新分析曲线系由方程 (5),(6) 得到方程 （7）,方程 (7)是过 (5)(6) 公共点的曲线 ,但方程 (7)不能包含过 (5)(6) 的所有曲线 .最简单的例子是:...