高二（下）数学培优圆锥曲线中的定点、定值问题2015 年 3 月1 / 17圆锥曲线中的定点、定值问题【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．求定值问题常见的方法有两种：(1) 从特 殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如：定点问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②根据条件化为恒等式，求出定点. 【典例分析】【定点问题】【例 1】 （2012. 福建卷）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率 e=．过F1的直线交椭圆于A、B 两点，且△ ABF 2的周长为 8．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆 E有且只有一个公共点P，且与直线x=4 相较于点 Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以 PQ为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ） 过F1 的直线交椭圆于A、B 两点，且△ ABF2 的周长为 8．∴4a=8，∴a=2 e=，∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆 E 的方程为．法一：法二：取k=0，m=，此时 P（0，）， Q（ 4，），ykxm,k m22221(b0)xyaab12高二（下）数学培优圆锥曲线中的定点、定值问题2015 年 3 月2 / 17以 PQ为直径的圆为（x-2 ）2+（y-）2=4，交 x 轴于点 M1（1，0）或 M2（3，0）取 k=，m=2，此时 P（1，）， Q（4，0），以 PQ为直径的圆为（x-）2+（ y-）2=，交 x 轴于点 M3（1，0）或 M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下 ∴故以 PQ为直径的圆恒过x 轴上的定点M（1，0）解法 3：( 导数求切线斜率) 【定直线问题】【例 2】（ 2013. 安徽卷）设椭圆的焦点在轴上( Ⅰ) 若椭圆的焦距为 1, 求椭圆的方程 ; ( Ⅱ) 设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点, 直线交轴与点, 并且, 证明 : 当变化时 , 点在某定直线上 . 解: ( Ⅰ). ( Ⅱ) . 由. 1232523445162222:11xyEaaxEE12,FFPE2F PyQ11F PF Qap13858851,12,122222222xxacaacaa，椭圆方程为：),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF（则设)1,0(),1,0()1,0(012yxa...
