坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换(0):(0)xxyygg的作用下 , 点P(x,y) 对应到点(,)P x y, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 . 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对 (, ) 叫做点 M的极坐标 ,记作(,)M. 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数 . 特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 (0,)(∈R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标(, ) 表示 ; 同时 ,极坐标 (, ) 表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 : (2) 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 ( ,)x y, 极 坐 标 是(, ) (0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M直角坐标 ( , )x y极坐标 ( , )互化公式cossinxy222tan(0)xyy xx在一般情况下 , 由 tan确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为 r 的圆(02 )r圆心为 ( ,0)r, 半径为 r 的圆2 cos ()22r圆 心 为 ( ,)2r, 半径为 r 的圆2 sin(0)r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点 ( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过 点 ( ,)2a, 与 极轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(, ),(,2),(,),(,), 都表示同一点的坐标, ...
