培优专题 4 无理数的整、小数部分的应用实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题．例 1 a 为17 的整数部分， b 为17 的小数部分，求a-b 的值．分析根据算术平方根的概念可知：16 <17 <25 ．即 4<17 <5 从而有： a=4，b=17 -4．解：根据题意得：16 < 17 <25 ．即： 4<17 <5∴a=4，b=17 -4．故 a-b=4-（17 -4）=8-17 ．练习 11．设19 =a， b 是 a 的小数部分，试用b 的代数式表示a，并求 a-b 的值．2．设7 的小数部分为b，求（ 4+b）b 的值．3．27 的整数部分是a，3 65 的整数部分是b，则 a-b=_______．例 2 若 5+11 的小数部分为a，5-11 的小数部分为b，则 a+b 的值是多少？分析无理数 5+11 和 5-11 是无限不循环小数，利用9<11<16，即 3< 11 <4 这一点，是解这类题的突破口．解： 3< 11 <4．∴5+11 的整数部分为8，5-11 的整数部分为1．则 5+11 的小数部分为11 -3，5-11 的小数部分为4-11 ．∴a+b= 11 -3+4- 11 =1．练习 21．若 9+13 与 9-13 的小数部分分别为a 与 b，则（ a+3）（ b-4）=________．2．已知 9+7 与 9-7 的小数部分分别为x、y，试求 3x+2y 的值．3．已知 7+3 9 与 7-3 9 的小数部分分别为m、n，试求（ m+n ） 3 的值．例 3 若137的整数部分是a，小数部分是b，则 a2+（1+7 ）ab=________．分析先作分母有理化，将原式转化为a±b 的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值．解：由137= 12（3+7 ） 2<7 <3．∴5<3+7 <6．∴2.5< 12（3+7 ）<3．即 a=2．b= 12（ 3+17 ） -2= 12（7 -1）则： a2+（1+7 ）ab=22+（1+7 ）× 12（7 -1）× 2=10．练习 31．设 x 是172的整数部分，则x2004-2x2003+x2002=________．2．若1113的整数部分为a，小数部分为b，则 b a=________．3．设 m 为1153的小数部分，则36m2=________．例 4 若116 2 的整数部分为a，小数部分为b，试计算： a+b+ 2b=________．分析将被开方数11-62 配方，构造成完全平方式（3-2 ）2，再化简根式，?然后分析整数部分和小数部分．解：116 2 =3-2 . 1<3-2 <2∴a=1，b=3-2 -1=2-2 ．∴a+b+ 2b=1+2-2 +222=1+2-2 +2+...
