积分与微分中对称问题的研究PB07210207 王铭明利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算，可以大大提高做题的效率与准确性，这篇论文我总结了函数求导与函数积分的利用对称性求解的方法和一些典型例题，算是对对称性应用的一点心得。1、对称函数的求导a,对函数Ϝ (x1., x2,… xn),若它的任意两个变元对换时函数不变，如函数z=x+ y+❑√x2+ y2 就是对称函数，对于对称函数具有这样的性质，即对任一变元所得的结果都可经变元（字母）的对换直接转移到其他变元。证明 ∂∂ x (Ϝ (x , y , z ))=f (x , y, z ), 由Ϝ (x , y, z )=Ϝ ( y , x, z ),有 ∂∂ y (Ϝ (x , y, z ))= ∂∂ y(Ϝ( y ,x ,z)),在变换(x→ y , y→ x, z→ z )下，上式变为 ∂∂ x (Ϝ (x , y , z ))=f (x , y, z ),取反变换，则有 ∂∂ x (Ϝ ( y ,x , z ))=f ( y , x, z ),考虑有由Ϝ (x , y, z )=Ϝ ( y , x, z ),则 ∂∂ y (Ϝ (x , y, z ))=f ( y , x, z )，同理 ∂∂ y (Ϝ (x , y, z ))=f (z , y ,x ).b,而有些函数不是对称函数，如 u=ln (xy yz zx) 不是三元对称函数，但在变换 (x→ y , y→ z, z→ x ) 下 ,函数仍然不变，此时我们称函数为三元轮换对称函数，类似于对称函数，对于一个轮换对称函数，他对某任一变元所得的结果都可经变元（字母）的轮换直接转移到其他变元。c,有些函数如f (x , y )=−f ( y , x ),x 与 y 互换后与原函数相差一个正负号，其不是对称函数，但由∂∂ y [f ( x, y)]=−∂∂ y [−f (x , y)]=−∂∂ y [ f (x , y)]，可知若已知∂ z∂ x，我们只需将 x 与 y 互换，将结果再乘以(−1)，就立即可得出∂ z∂ y.（对称变换）例 1：设 z=x2tan−1 yx +y2tan−1 xy,求∂ z∂ x , ∂ z∂ y .∂ z∂ x=2x tan−1 yx +x2 − yx2+¿ y2¿+y2yx2+¿ y2¿=2x tan−1 yx +y ¿¿,由对称函数性质，将 x 与 y 互换,∂ z∂ y=2 y tan−1 xy +x ¿¿(轮换对称变换)例 2：u=ln (xy yz zx)，∂u∂ x= yx +ln z ,由于 u 为轮换对称函数，在变换(x→ y , y→ z, x→ z )下，有∂u∂ y= zy +ln x,∂u∂ z= xz +ln y ,例 3.z=xy- 2x y3x2+ y2,解得∂ z∂ x=y+ 2 y3 (x2− y2)¿¿¿,考虑到函数 z 的表...
