圆锥曲线的一个优美性质张元方（四川省宜宾市职业技术学校 644000）【摘要】 解析几何是用代数方法研究几何问题的重要学科．解析几何中的直线过定点问题，有关定值（最值）问题正在成为各级考试的热点，倍受命题者的青睐．本文利用研究圆锥曲线性质的一般方法：设方程，联立方程组，消元，利用一元二次方程根与系数的关系以及设而不求法，得到了圆锥曲线中满足一定条件的直线过定点的一组优美的统一性质．【关键词】 圆锥曲线，过定点，统一性质．圆锥曲线有着众多的优美性质，只要我们善于探究和思考，就会发现它，它如同一道美丽的风景愉悦了我们的身心．在对圆锥曲线的研究中，笔者发现圆锥曲线的一组优美统一的性质，现叙述如下：性质 1 设是抛物线上异于原点的两个不同点．直线的倾斜角分别为 ，且，则直线恒过定点．证明 设，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设直线的方程为．则将与联立消去，得，由韦达定理得．当时，，所以，即，又．所以，，．因此直线的方程为，即．所以直线恒过定点．性质 2 设是椭圆上异于顶点的两个不同点．直线的倾斜角分别为 ，且，则直线恒过定点．证明 设，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设直线的方程为．则将与联立消去，得，整理得．由韦达定理得，．于是．又 因 为， 所 以， 从 而， 即，又将，，代 入 上 式 并 整 理 得， 易 知， 所 以， 因 此 直 线的 方 程 为， 即，所以直线恒过定点．性质 3 设是双曲线上异于顶点的两个不同点．直 线的 倾 斜 角 分 别 为 ， 且， 则 直 线恒 过 定 点．证明 设，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设直线的方程为．则将与联立消去，得，整理得．由韦达定理得，．于是．又 因 为， 所 以， 从 而 ， 即，又将，，代 入 上 式 并 整 理 得， 易 知， 所 以， 因 此 直 线的 方 程 为， 即，所以直线恒过定点．作者简介：本人张元方，男，74 年 9 月出生，98 年毕业于重庆师范大学数学系，现在四川省宜宾市商职校从事数学教学，中学一级教师．通讯地址：四川省宜宾市翠屏区南岸长江大道中段 20 号区社保局 张妍收 邮编：644000联系电话：13778932060 E—mail：zyf780206@126.com
