专题一 三角函数和平面向量 微切口 7 向量的等和线 在△PAB所在平面上的点C满足PC→＝xPA→＋yPB→，且x＋y＝2，请指出点C的位置． 【思维引导】 (例1) 【解答】令PC→2＝ PD→(＝ x＋y)PD→ ， 则PD→ ＝ xx＋yPA→＋ yx＋yPB→. 由 xx＋y＋ yx＋y1＝ ，得点A，B，D共线，即点D在直线AB上． 如图，由PC→2＝ PD→ 知点C在直线A′B′上， 其中PA′→2＝ PA→，PB′→2＝ PB→. 在△PAB所在平面上的点C满足 PC→ ＝xPA→＋yPB→ ，且2x＋3y＝5，请指出点C的位置． 【解答】令PC→5＝ PD→(2＝x3＋ y)PD→ ， 则PD→ ＝x2x3＋ yPA→＋y2x3＋ yPB→， 即PD→ ＝2x2x3＋ yPA1→ ＋3y2x3＋ yPB1→ ， 其中PA1→ ＝12PA→，PB1→ ＝13PB→. 由2x2x3＋ y＋3y2x3＋ y1＝ ，得点A1，B1，D共线，即点D在直线A1B1上． 如图，由PC→5＝ PD→ 知点C在直线A2B2上，其中PA2→5＝ PA1→ ，PB2→5＝ PB1→ . (变式) 若△PAB是边长为6的等边三角形，点C满足 PC→ ＝x PA→ ＋y PB→ ，且2x＋3y＝4，其中x＞0，y＞0，则|PC→|的取值范围为____________． 【思维引导】 12 217，12 【解析】令PC→4＝ PD→(2＝x3＋ y)PD→ ， 则PD→ ＝x2x3＋ yPA→＋y2x3＋ yPB→， 即PD→ ＝2x2x3＋ yPA1→ ＋3y2x3＋ yPB1→ ， 其中PA1→ ＝12PA→，PB1→ ＝13PB→. 由2x2x3＋ y＋3y2x3＋ y1＝ 知点D在线段A1B1(上 不含点A1，B1)，如图． (2)例 在△PA1B1|中，因为 PA1→ |3|＝ ， PB1→ |2＝ ，∠A1PB160°＝，且点D在线段A1B1上 (不含端点A1，B1)， |所以 PH→ |≤|PD→ ||＜ PA1→ |，其中PH是边A1B1上的高． 由A1B1→ 2(＝ PB1→ －PA1→ )2＝PB1→ 2＋PA1→ 22－ PB1→ ·PA1→7|＝ ，得 A1B1→ |＝ 7. 又由S△PA1B1＝12|PA1→ |·|PB1→ |·sin∠A1PB1 ＝12|A1B1→ |·|PH→ ||，得 PH→ |＝3 217，所以3 217≤|PD→ |3.＜ 由PC→4＝ PD→ ，知12 217≤|PC→|12.＜ 若点C在以P为圆心，6为半径的弧AB上，∠APB＝120°，且 PC→ ＝x PA→ ＋yPB→，则2x＋3y的取值范围为____________． 2，2 573 【解析】令PC→(2＝x3＋ y)PD→ ， 则PD→ ＝x2x3＋ yPA→＋y2x3＋ yPB→， 即PD→ ＝2x2x3＋ yPA1→ ＋3y2x3＋ yPB1→ ， 其中PA1→ ＝12PA→，PB1→ ＝13PB→. 由2x2x3＋ y＋3y2...
