专题一 三角函数和平面向量 微切口 4 三角形中的最值问题 (1) 如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=DC,BD=3 ,则△ABC面积的最大值为________. 【思维引导】 2 【解析】 方法一:()利用余弦定理 设AD=DC=m,则AB2= mcos ,所以A=5m23-4m2 , sin 故A=9- m430+m29-4m2, 所以S△ABC=9- m430+m29-2=9- m2-53216+2 , 易知当m2=53时,S△ABC2.取得最大值 方法二:()利用向量知识求解 设AH为BC边上的高. 由BD→ =BA→+12AC→, 得BD→ 2=BA→+12AC→ 2=54BA→ 2+BA→·AC→=3, 所以S=12|AH→ |·|BC→|=1214AB→+AC→2·AC→-AB→2 =142AB→ 2+2AB→·AC→·2AB→ 2-2AB→·AC→ =14-94AB→ 4+30AB→ 2-36, 以下类似方法一. (2) (2019·苏州大学考前指导卷)在锐角三角形ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a,b,c成等差数列,则cacos B的取值范围为________. 925,1 【解析】 设ca=t,若a≤b≤c,则 2b=a+c,a+b>c,a2+b2>c2,1可得 ≤t<53;若a≥b≥c, 则 2b=a+c,b+c>a,b2+c2>a2,可得35