小波分析 北京大学数学科学学院 许传祥 1 前 言 Fourier分析诞生至今已经接近200年，它在理论与应用两个方面的贡献功不可灭，它是分析数学中许多重要概念的来源，例如：广义函数的概念，Riemann与Lebesgue积分的严格定义等都是伴随着对Fourier分析的研究而出现的。它在求解微分方程与数值分析中曾经并且继续扮演着重要角色，特别它在诸如信号分析这样的工程技术中一直占据着统治地位，该领域的工程技术人员几乎无人不知快速Fourier变换，之所以能如此，是因为 Fourier分析首先倡导了一种思想，它把复杂的函数（工程技术中的信号）分解为简单的函数的线性组合（即将信号表示为具有简单震动频率的信号的叠加）这一光辉思想具有很大的优越性，深受理论界与应用界人士的欢迎。 虽然 Fourier分析具有如此优点，但也有严重缺点，按照工程技术的语言来说，Fourier仅具有频域局部性而没有时域局部性，而工程技术界通常要求两者兼备的时―频局部性，按数学的语言来说，这个缺点指的是Fourier分析中用来对函数进行分解的基函数是由支集是整个时间域的函数构成的。 2 长期以来，人们梦寐以求的是寻找Fourier基函数的一种替代，它既能保留频域局部化的优点，又能克服没有时域局部化的缺点，这种替代基本上可以说已于八十年代找到了，它就是小波基。它的起源最早可以追溯到三十年代的 Littlewood—Paley理论与Harr分析，以及七十年代的Calderon表示定理，更直接的则是八十年代由众多来自数学、物理与电器工程等不同领域的许多专家们的共同努力。 3 一、什么是小波? 1、 从直观上理解小波： 2、 从数学上理解小波： 函数)()(2 RLt 称为可允许小波，如果其Fourier变换)(ˆ 满足可允许性条件 | ()|| | 2Rd 基函数可由小波 ( )t 经过伸缩和平移而得 )(||1)(,abtatba 其中 0a, -∞< ｂ < +∞。 当ａ较大时, 得到一个由小波 ( )t "拉长"的函数, 即长时低频函数;当ａ较小时, 得到一个由小波 ( )t "压缩"的函数, 即短时高频函数。 3、 从应用上理解小波：小波是一种工具 （1） 奇异积分算子和函数空间的刻划 （2） 信息处理领域的应用 （3） 其它领域的应用 4、 从学科分支上讲：小波分析已经发展成为一个独立的学科分支 5、 从方法论的角度理解小波： 4 二、小波的分类 小波分析的研究按小波的形式不同可分为以下三大类： ①当0a, -∞< ｂ < +∞取...
