第 23 讲 与几何相关的应用题1.(2018 南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三模拟)如图,OM,ON 是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中 OM 为东西走向,Q 为景区内一景点,A 为道路 OM 上一游客休息区.已知 tan∠MON=-3,OA=6 百米,Q 到直线 OM,ON 的距离分别为 3 百米,6√105百米.现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸与道路 ON 交于点 B,并在 B 处修建一游客休息区.(1)求有轨观光直路 AB 的长;(2)已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型音乐喷泉组合,喷泉表演一次的时长为 9 分钟.表演时,喷泉喷洒区域以 P 为圆心,r 为半径且变化,且 t 分钟时,r=2√at百米(0≤t≤9,0
0),由|3 x0+3|√10=6√105,解得 x0=3(舍 x=-5),所以 Q(3,3).故直线 AQ 的方程为 y=-(x-6),即 x+y-6=0,{y=-3 x ,x+ y- 6=0,解得 x=-3,y=9,即 B(-3,9).所以 AB=9√2.(2)将喷泉记为圆 P,由题意可得 P(3,9),设 t 分钟时,观光车在直路 AB 上的点 C 处,则 BC=√2t,0≤t≤9,所以 C(-3+t,9-t).若喷泉不会洒到观光车上,则 PC2>r2对 t∈[0,9]恒成立,即 PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36>4at,当 t=0 时,上式成立,当 t∈[0,9]时,2a
