第 3 讲 基本不等式1．已知 f(x)＝x＋－2(x＜0)，则 f(x)的最大值为________．解析：因为 x＜0，所以 f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即 x＝－1 时取等号．答案：－42．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________(填序号)．①a2＋b2>2ab；② a＋b≥2 ；③＋>；④＋≥2.解析：因为 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以①错误．对于②、③，当 a<0，b<0 时，明显错误．对于④，因为 ab>0，所以＋≥2＝2.答案：④3．已知函数 f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________．解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当 4x＝，即 a＝4x2时取等号，则由题意知 a＝4×32＝36.答案：364．(2018·江苏省高考名校联考(一))已知实数 x，y 满足 xy＋6＝x＋9y，且 y∈(1，＋∞)，则(x＋3)(y＋1)的最小值为________．解析：由条件知 x＝，则(x＋3)(y＋1)＝＝12(y－1)＋＋27.又 y∈(1，＋∞)，所以 y－1∈(0，＋∞)，故(x＋3)(y＋1)＝12(y－1)＋＋27≥12＋27，当且仅当 y＝1＋时取等号．答案：27＋125．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即 x＝80 时取等号．答案：806．(2018·浙江省七校模拟)已知实数 x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．解析：由已知，得 lg(2x·8y)＝lg 2，所以 2x·8y＝2，即 2x·23y＝2，即 x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当 x＝y 时，等号成立．答案：4＋27．不等式 x2＋x<＋对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数 x 的取值范围是________．解析：根据题意，由于不等式 x2＋x<＋对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，则 x2＋x<，因为＋≥2 ＝2，当且仅当 a＝b 时等号成立，所以 x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2
