第 12 讲 导数与函数的极值、最值1．函数 f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值为________．[解析] f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 f′(x)＝0，得 x＝1.又 f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，所以 f(1)为最大值．[答案] 2．函数 f(x)＝(2x－x2)ex的极大值为________．[解析] f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，由 f′(x)＝0，得 x＝－或 x＝.由 f′(x)<0，得 x<－或 x>.由 f′(x)>0，得－
0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知条件 0<<1，解得 01，即 a<－1.[答案] (－∞，－1)5．若函数 f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则 a 的值为________．[解析] f′(x)＝＝，当 x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当 x＜－时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当 x＝时，f(x)取到极大值，令 f()＝＝，＝<1，不合题意．所以 f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.[答案] －16．设函数 f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的 x∈[－1，2]，都有 f(x)>a，则实数 a 的取值范围为________．[解析] f′(x)＝3x2－x－2，令 f′(x)＝0，得 3x2－x－2＝0，解得 x＝1 或 x＝－，又 f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故 f(x)min＝，所以 a<.[答案] 7．(2018·荆门三校联考改编)若函数 f(x)＝x2－ln x＋1 在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数 a 的取值范围是________．[解析] 根据题意，f′(x)＝2x－＝，所以函数有一个极值点，所以有解得 1≤a<，所以实数 a 的取值范围是.[答案] 8．(2018·苏锡常镇四市调研)若函数 f(x)＝x2－ex－ax 在 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的最大值为________．[解析] 因为 f(x)＝x2－ex－ax，所以 f′(x)＝2x－ex－a，由题意 f′(x)＝2x－ex－a≥0 有解，即 a≤－ex＋2x 有解，令 g(x)＝－ex＋2x，g′(x)＝－ex＋2＝0，x＝ln 2，g′...
