1 专题 8《“PA＋k· PB”型的最值问题》破解策略“PA＋k· PB”型的最值问题，当k＝1 时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0 时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．1． 当点 P在直线上如图，直线BM，BN交于点 B， P为 BM上的动点，点A在射线 BM，BN同侧，已知sin ∠MBN＝k．过点 A 作 AC⊥BN于点 C，交 BM于点 P，此时 PA＋k· PB取最小值，最小值即为AC的长．PCBAMN证明如图，在 BM上任取一点Q，连结 AQ，作 QD⊥BN于点 D．NMABCPDQ由 sin ∠ MBN＝k，可得 QD＝ k· QB．所以 QA＋k· QB＝QA＋QD≥AC，即得证．2． 当点 P在圆上如图，⊙ O的半径为 r ，点 A，B 都在⊙ O外， P 为⊙ O上的动点，已知r ＝k· OB．在 OB上取一点 C，使得 OC＝ k· r ，连结 AC交⊙ O于点 P，此时 PA＋k· PB取最小值，最小值即为 AC的长．ABCPO证明如图，在⊙ O上任取一点Q，连结 AQ，BQ，连结 CQ，OQ．2 OPCBAQ则 OC＝ k· OQ， OQ＝ k· OB．而∠ COQ＝∠ QOB，所以△ COQ∽△ QOB，所以 QC＝ k· QB．所以 QA＋ k· QB ＝QA＋ QC≥AC，即得证．例题讲解例 1 如图，矩形ABCD中， AB＝6cm，BC＝5 cm，对角线 AC、BD相交于点 O，△ COD关于 CD的对称图形为△CED．若点 P 为线段 AE上一动点（不与点A 重合），连接OP，一动点 Q从点 O出发，以 1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以 1．5cm/s 的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点 A 后停止运动， 当点 Q沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求 AP的长和点 Q走完全程所需的时间．解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为2171过点 E作 EF⊥AD，交 AD的延长线于点F则 EF＝3cm，AF＝523cm ∴AE＝2922AFEFcm，从而 sin ∠EAF＝EAEF ＝32过点 P作 PG⊥AD于点 G，则有 PG＝32 PA过点 O作 OH⊥AD于点 H，则 OH＝21 CD＝3 而 OP＋32 PA＝PO＋PG≥ OH， 所 以 t最 小 ＝ 3s3 显 然 AH＝31 AF，所以 AP＝31 AE＝23 cm 综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，AP的长为23 cm，点 Q走完全程所需的时间为3s．例 2在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m的顶点为 C．直线 y＝x＋2与抛物线交于A、B 两点，点 A 在抛物线的对称轴左侧．抛物线的对称轴与直线AB交于点 M，作点 B 关于直线 MC的对称点 B'...
