江苏省清江中学 2006 届高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的关系一、主要内容及方法：1、直线与圆锥曲线的公共点问题，其解决办法通常有两种：①利用圆锥曲线的几何性质；②转化为由它们的方程组成的方程组解的问题。这里要注意解方程组时，最终归结为讨论一个一元二次方程实数解的个数，此时应关注二次项系数是否为 0.特别提醒：△=0 不是直线与双曲线、抛物线只有一个交点的充要条件。2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题，其解决方法是利用韦达定理及直线斜率公式（弦长公式），对于特殊的过焦点的弦长可以通过圆锥曲线的第二定义来解决（焦半径公式）。3、直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，其解决方法常有两种：①利用韦达定理及中点坐标公式；②“点差法”由平方差公式可得中点坐标与直线斜率之间关系。说明：在直线与圆锥曲线的关系中，求交点是可行的，但是往往计算量太大容易出错，巧妙利用上述技巧，可以达到“设而不求”整体解决，从而简化计算。二、基本练习：1、直线 y=x+b 与抛物线，当 b∈时，有且只有一个公共点。2、直线 y=mx+与抛物线，当 m∈{0,1}时，有且只有一个公共点。3、若椭圆的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为.4、若直线 y=x+m 与椭圆相交于 A、B 两点，当 m 变化时，|AB|的最大值是5、过双曲线的右焦点作直线 l，交双曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线 l 有 3 条。6、AB 为过抛物线焦点的弦，若|AB|=1，则 AB 中点的横坐标为；若 AB 的倾斜角为 60°，则|AB|=.7、已知直线 y=x－2 与抛物线相交于点 A、B，求证：OA⊥OB.证明：将 y=x－2 代入中，得.由韦达定理得 x1+x2=6, x1·x2=4. y1=x1-2，y2=x2-2， ∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=－4 ∴=-1 ∴OA⊥OB. 三、例题精讲例 1 直线 y=ax+1 与双曲线交于 A、B 两点.（1）当 a 为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？（2）当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？解：由，得 (3-a2)x2-2ax-2=0 ∴得当且时，直线与双曲线交于两点，设 A(x1,y1),B(x2,y2).（1）由 x1·x2=<0，得.（2）以 AB 为直径的圆过原点OA⊥OBx1x2+y1y2=0，即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0∴(1+a2) x1x2+a (x1+x2)+1=0. 而 ∴,解得 a=±1.例 2 如图，过抛物线上一定点 P（）（），作两条直线分别交抛物线于 A（），B（） （I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点 F 的距离。 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互...
