“北约”“华约”2013 年自主招生数学模拟试题（满分 150 分）5. 设 P 是抛物线上的动点,点 A 的坐标为,点 M 在直线 PA 上,且分所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共 5 小题 每题 20 分）1 设集合，．若，求实数的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了 P条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于个3. 设平面向量,.若存在实数和角,使向量,,且.(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点 A, B在双曲线上.(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.5. 已知 a，b 均为正整数，且求证：对一切，均为整数参考答案一、选择题1. 由,得,有,即.则,原式=.2. 设,,代入原方程整理得有,解得或,所以或.3. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令，由二项式定理知，对任意正整数 n. 为整数，且个位数字为零.因此，是个位数字为零的整数.再对 y 估值，因为， 且，所以 故 x 的个位数字为 9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被除余的数可写为. 由≤≤.知≤≤. 又若某个使能被 57 整除，则可设=57n. 即. 即应为 7 的倍数. 设代入，得. ∴. ∴m=0,1.于是所求的个数为．5. 设点 P,M,有,,得,而,于是得点 M 的轨迹方程是.二、解答题1. 解：，．当时，，由得；当时，，由得；当时，，与不符．综上所述，2. 证明：假设该校共有个班级，他们的建议分别组成集合。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有 A（所有 P 条建议所组成的集合）的个子集，所以3. 解:(I)由,,得=,即,得.(II)由,得求导得,令,得,当,,为增函数;当时,,为减函数;当时,,为增函数.所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小值.4．解:(I),,设则,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹方程为和()(II)直线:,:,D(1,4),椭圆 Q:①若过点或 D,由,D 两点既在直线上,又在椭圆 Q 上,但不在的轨迹上,知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若不过,D 两点().则与必有一个公共点 E,且点 E 不在椭圆 Q 上,所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与 Q 有且只有一个公共点,把代入椭圆的方程并整理得由,得.【评述】把为与复数联系在一起是本题的关键
