高三数学第一轮复习：椭圆人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆二. 本周教学重难点：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程，了解椭圆的初步应用。【典型例题】[例 1] 已知 A、B 是椭圆上的点，是右焦点且，AB 的中点 N 到左准线的距离等于，求此椭圆方程。解：如图，设为左焦点，连结、，则根据椭圆定义有 再设 A、B、N 三点到左准线距离分别为、、由梯形中位线定理，有而已知 ∴ ∴ 得离心率 ，∴ ∴ ，则椭圆方程为[例 2] 设椭圆的两焦点为、，若在椭圆上存在一点 P，使，求椭圆的离心率 的取值范围。解：方法一：如图所示，设、、则，， ∴ ∴ 即据题意，知 P 点在椭圆上，但不在 x 轴上∴ ∴ 于是，即∴ 方法二：设 ∴ 又 O 为的中点 ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 方法三： ∴ ∴ P 点在以为直径的圆上，又 P 点在椭圆上∴ 圆与椭圆有公共点由图知，即 ∴ ∴ [例 3] 已知 A、B、D 三点不在一条直线上，且，，，，（1）求 E 点的轨迹方程；（2）过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为，且直线 MN 与 E 点的轨迹相切，求椭圆的方程。解 ： （ 1 ） ∴ E 为 BD 中 点 ， 设 E （ x ， y ） ， 则 ∴ ，即又 A、B、D 三点不共线 ∴ 故 E 点的轨迹方程为（2）依题设，直线 MN 与圆相切，设切点为 Q，坐标原点为 O，则为直角三角形。 ∴ ∴ 根据对称性，不妨设，则直线的方程为 线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ∴ 中点坐标为（）∴ 由整理后得∴ ∴ 又 ∴ 故所求椭圆方程为[例 4] 已知常数，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且，P 为 GE 和 OF 的交点，如图，问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在 ，请说明理由。解：按题意有设由此有直线 OF 的方程为 ①直线 GE 的方程为 ②从①②消去参数 ，得点 P（x，y）坐标满足方程整理得当时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点 P 的轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点 P 到椭圆两个焦点的距离之和为定值当时，点 P 到椭圆两个焦点（0，），（0，）的距离之和为定值。[例 5...
