中考二次函数的存在性问题全总结 【典例分析】 【考点1】二次函数与相似三角形问题 【 例1】 已知抛物线 23yaxbx与x 轴分别交于(3,0)A ，(1,0)B两点，与y 轴交于点C． （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图 1，设AFkAD，当 k 为何值时，2CFAD 1. ②如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由． 【答案】（1）223yxx ，D 的坐标为(1,4)；（2）①12k ；②以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC 相似，F 点的坐标为6 18,55或(2,2)． 【解析】(1)将A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)； (2)①由 A、C、D 三点的坐标求出AC3 2，DC2，AD2 5，可得ΔACD 为直角三角形，若1CFAD2，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)抛物线 2yaxbx3过点A(3,0)，B(1,0) ， 933030abab，解得：12ab ， 抛物线解析式为 2yx2x3 ； 22yx2x3x14 ， 顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①在RtΔAOC 中，OA3，OC3， 222ACOAOC18， D1,4，C 0,3 ，A3,0， 222CD112， 222AD2420， 222ACCDAD， ΔACD为直角三角形，且ACD90， 1CFAD2， F 为AD 的中点， AF1AD2， 1k2； ②在RtΔACD 中，DC21tanACDAC33 2， 在RtΔOBC 中，OB1tanOCBOC3， ACDOCB， OAOC， OACOCA45， FAOACB， 若以A，F，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOFABC时，ΔAOFΔCBA∽， OFBC， 设直线 BC 的解析式为ykxb， 03kbb，解得：33kb ， 直线 BC 的解析式为y =3x +3， 直线 OF 的解析式为y =3x， 设直线 AD 的解析式为y =mx +n ， 430kbkb ，解得：26kb ， 直线 AD 的解析式为y...
