关于“贝特朗悖论”的总结齐尽欢高等研究院2014级理工创新实验班指导教师王雄博士摘要:简要分析人们现普遍认同的三种对“贝特朗悖论”的理解方法;介绍关于引入“密度”概念的贝特朗解法;探索解析几何概率问题中出现多解的原因;运用程序验证前两种假设。关键词:贝特朗悖论、等概率事件、随机事件的定界。一、“贝特朗悖论”的概述贝特朗悖论的内容如下:考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选方圆上的一条弦,则此弦的长度比三角形的边较长的概率为何?常见的分析有如下三种:如图a:由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4点与3/4点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2。此时假定弦的中心在直径上均匀分布,直径上的点组成样本空间Ω1。如图b:由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~120°之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3。此时假定弦的另一端在圆周上均匀分布,圆周上的点组成样本空间Ω2。如图c:弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定,弦的中点在大圆内均匀分布,大圆内的点组成样本空间Ω3。二、关于方法三的新思考在黄晶晶《关于贝特朗悖论的新思考》一文中提到了关于方法三的质疑,创新性联想到“点的密度”的概念,并结合积分的方式,得到与传统理解答案不同的结论。但关于其结果与积分过程,个人不完全认同。我们知道弦被其中点位置唯一确定。所以只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。但问题出在“弦的中点在大圆内分布均匀”这里,也就是中点在圆内位置都是等可能的。实际上,圆内的点是均匀分布的,但所有直径都要通过圆心O。这样圆心O是无穷多条弦(即直径)的中点,所以点O作为弦的中点的密度最大,为+∞。而除O点之外,⊙O内其它任一点M,以M为中点的弦有并且只有一条,这只要连接0M,再过点M作直线SS′垂直于OM且交⊙O于S,S′,易证0M是SS′的中点(存在性得证)。另外,若还有一条弦HH′以M为中点,则由垂径定理知HH′⊥OM。这样,在平面上过M就会有两条直线与OM垂直,矛盾。所以,弦的中点在圆内的分布,在O点是无穷多条弦(直径)的中点在这里迭加,密度为+∞;而圆内其它点都只是圆内某一条弦的中点。个人认为简言之,圆内的所有点分布均匀,但圆内所有弦的中点构成了另一个与圆内点的不同的集合,可以类似于为圆内不同点加了不同的权重。所以,接下来下面说明⊙O的所有弦的中点在圆内的分布是不均匀的。对于圆周上的任一点P来说,可以这样规定,它是弦PP的中点。这样弦的中点可以覆盖整个闭圆面。如图,我们先作两个圆⊙O(r),⊙O(r/2),再任作⊙O(s*)。圆周上任取两点P、Q,连接OP,OQ交⊙O(r/2)于P0、Q0,交⊙O(s*)于P*、Q*。这样,我们可以建立从⊙O(r)到⊙O(r/2)的点的对应,P对应P0,Q对应Q0。这种对应是可逆的,故我们可以认为⊙O(r)上的点与⊙O(r/2)上的点是一样多的。但是⊙O(r)的周长2πr,而⊙O(r/2)的周长是πr。所以⊙O(r/2)的密度是⊙O(r)的2倍。对于同心圆⊙O(s*)来说(P*为OP上之动点,0≤s*≤r),s*越小,⊙O(s*)上的密度越大。至此,关于圆的弦的中点的分布可以得出这样的结论:弦的中点(所有)覆盖整个闭圆面。其密度随它越靠近圆心O密度越大,设该点为P*,它离圆心的距离为O*=s*,与圆心O距离相同的点,其密度是相同的。一个点P*的密度与它至O的距离s*成反比。故⊙O(s*)上P*点的密度可设为k/s*(k为密度常数)。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆⊙O(r/2)内时,其弦长才合乎要求。设弦的中点为P,PO=s,则P点的密度为k/s(k为密度常数)0≤s≤r。A表示事件:在已知⊙O(r)内任作一弦,其长大于√3r。P(A)表示事件A的概率。P(A)=∫0r22πs∙ksds∫0r2πs∙ksds=∫0r2ds∫0rds=r2r=12我认为在笔者的意图是将“密度”定义为一个类似单位长度内中点个数的概念。从而使用积分的方法求得符合题目中条件的点的“数量”与圆内所有点的...