1 向量的不合常理性质的研究向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。对于初学者来讲，向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。不合常理 1向量不是有向线段，却用有向线段表示根据向量的定义， 向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示， 但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点无关。一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管 “形” 的位置如何变动，但 “神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会。在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。向量与有向线段的区别 还体现在平行 （共线）的关系上， 有向线段有平行和共线之分， 这符合学生的平面几何中对直线的理解。2 不合常理 2向量有大小，却不可比较大小不合常理 3零向量方向任意，却可平行不可垂直不合常理 4向量运算满足交换律，分配律却不满足结合律、消去律3 错误分析：不合常理 5向量有坐标，但坐标却与向量无关4 如上文常见错误2 就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自由向量的可移动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。不合常理 6不合常理 7书上写 a、b、c，我却不可写 a、b、c5 不合常理 8不合常理 9不合常理 10直线的方向向量的夹角却不一定是直线的夹角对于两条直线求夹角的问题， 可以转化为求两条直线所在的方向向量的夹角，但两条直线方向向量的夹角却不一定是两条直线的夹角，可能是直线夹角的补角。6 对于以上罗列的十条 “不合常理 ”的性质和定理，是学生在使用向量时出错的主要原因所在，只有教师在平时的教学工作中加以认真总结分析，才能达到防患于未然，使学生在喜欢用向量解题的基础上更进一步，达...
