二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 . 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 二、例题讲解例 1．（ 1）已知：xxflg)12(，求)(xf. （ 2）设实数 x 、 y 满足0122xyx，则yx的取值范围是 _________. （ 3）方程2)22(log)12(log122xx的解集是 ______________. 解：（ 1）)1)(1lg(2lg)(xxxf；（2）设kyx，则1044,01222kkkxx或1k；（3）令)12(log 2x= t ，可得原方程的解集为}0{. 例 2．（1）函数223)1(xxxy的值域是 _____________. (2) 已知：数列}{na的11a，前 n 项和为nS ，241nnaS. 求}{na的通项公式 . 解：（1）令tanx，)2,2(，则sin)tan1(cos)tan1(tantan23223y4sin412coscossin)sin(cossincos22， ∴]41,41[y. （2）由241nnaS，知)2(241naSnn，∴)2)((411naaSSnnnn，即)2)((411naaannn∴)2)(2(2211naaaannnn，令nnnaab21，则)2(21 nbbnn 11a，52a，∴31b，123nnb，即nnnaa22311. 两边除以12n得：432211nnnnaa，令nnnac2，则有431nncc，∴)13(41nc n，代入nnnac2得：22)13(nnna. 例 3．实数 x、y 满足 4x2 －5xy ＋4y2 ＝5 （ ①式） ，设 S＝x2 ＋y2 ，求max1s＋m in1s的值 . （93 年全国高中数学联赛题）方法 1：设sincossysx代入①式得： 4S －5S·sincos＝5 解得 S ＝2sin5810； -1 ≤sin2 α ≤1 ∴ 3 ≤8－5sin2 α ≤13 ∴ 1013≤1085sin≤ 103∴max1s＋min1s＝ 310＋ 1310＝ 1610＝ 85方法 2：由 S＝x2＋y2 ，设 x2 ＝2s ＋t ，y2＝2s －t ，t ∈[ － S2， S2] ，则224tsxy－代入①式得： 4S±5224ts －=5，移项平方整理得 100t2 +39S2 －160S＋100＝0 . ∴ 39S2 －160S＋ 100≤ 0 解得： 1013≤ S≤ 103∴max1s＋min1s＝ 310＋ 1310＝ 1610＝ 85方法 3：（和差换元法）设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2 ＋13b2 ＝5 ，求得 a2∈[0, 53] ，所以S＝(a －b)2 ＋(a ＋b)2 ＝2(a2 ＋b2 ) ＝ 1013＋ 2013a2 ∈[ 1013, 103] ，再求m ax1s＋m in1s的值 . 三、同步练习1．xxxxycossincossin的最大值是 __ 12＋2 ___. 2 ． 已 知 数 列}{na中 ，nnnnaaaaa111,1a 1 ＝ － 1 ， 则 数 列 通 项na＝_____n1 ____. 3．已知 x2 ＋ 4y2 ＝4x，则 x＋y 的范围是 _____]25,...
