沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012 学年 第一学期课程名称：数值分析出题人 : 王吉波审核人 : 一、填空题（本题40 分 每空 4 分）1．设),,1,0()(njxl j为节点nxxx,,,10的 n 次基函数，则)(ij xljiji,0,1。2．已知函数1)(2xxxf，则三阶差商]4,3,2,1[f= 0 。3．当 n=3 时，牛顿 - 柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0CCC，则)3(3C81。4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式,2,1,0,)()1(kfBxxkk收敛的充分必要条件是1)(B或 B 的谱半径小于 1 。5．设矩阵1221A，则 A 的条件数2)(ACond= 3 。6. 正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。7. 要使求积公式)()0(41)(1110xfAfdxxf具有 2 次代数精确度，则1x2/3 ，1A3/4 。8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA，135945-2791260945-0451827-9189A其中，则13213012-100120001L，9000548100918-9027-9189U二、（10 分）已知由数据 （0,0 ），（0.5 ，y），（1,3 ）和（ 2，2）构造出的三次插值多项式)(3 xP的3x 的系数是 6，试确定数据 y。答案：利用Lagrange 插值多项式，)()()()()()()()()()(3322110033xlxfxlxfxlxfxlxfxLxP及基函数的表达式可知3x 的系数为))()(()(3020100xxxxxxxf +))()(()(3121011xxxxxxxf+))()(()(3212022xxxxxxxf+))()(()(2313033xxxxxxxf（5 分）代入有关数据得15.122)1(5.013)5.1()5.0(5.006y解得 y=4.25.（5 分）三、（15 分）试导出计算)0(1aa的 Newton 迭代格式，使公式中（对nx ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算)0(1aa等价化为求012xa的正根。而此时有3'22)(,1)(xxfxaxf，（5 分）故计算)0(1aa的 Newton 迭代格式为nnnnnnnnxxaxaxxxaxx)223(2232123321（5 分）迭代函数10|*)('|2323)(',1*,)223()(22xaxxaxxxax，故迭代法局部收敛。（5 分）四、（15 分）已知43,21,41210xxx。（1）推导出以这3 个点作为求积节点在[0 ，1] 上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算102dxx。答案：（1）过这 3 个点的插值多项式)())(())(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxP故2010210)()()(kkkxfAdxxPdxxf，其中32)4341)(2141()43)(21())(())((10102010210dxxxdxxxxxxxxxA32,3121AA，故所求的插值型求积公式为)]43(2)21()41(2[31)(10fffdxxf（5 分...
