1 . 问题的重述 一个人在一个水容器中洗澡，但是随着温度的降低，会使人感觉到不舒服，由于浴缸不是一个具有二次加热系统和循环射流的水疗浴缸（温泉式的桶），所以浴缸中的人增加了一个连续不断提供热流的水龙头，并且当浴缸快要达到它的额定容积时，多余的水通过溢漏流出。要使人体在浴缸中达到满意的舒适度，需要控制热水龙头的温度、出水的流速以及出水的流速。 （1）建立一个最基本的数学模型，得到温度在人不运动时的分布模型。 （2）如果人运动，必将影响水在浴缸中的蒸发速度，得到更优的温度分布模型。 （3）在问题（1）的情况下，如果考虑热水龙头在浴缸中各向热传导系数不同，得到另一个温度分布模型。 （4）如果浴缸的形状、体积改变以及人的形状、体积、温度改变，最终影响的也是热传导系数，所以不建立模型，只作说明。 2．模型的假设与符号说明 2.1 模型的假设与说明 （1）浴缸中的初始水温已经达到恒温，在各位置的温度都是相同的。 （2）浴缸中的水的温度在空间和时间上分布是连续的。 （3）忽略浴缸中的水与器壁的热量交换 （4）假设人在水中的运动是有规律的，并且头部始终保持在水面上方。 说明：（1）对于假设（2），由于热水进入时热量不能骤变，并且单位时间内传递的热量很多，故视其为连续函数是合理的，从而可以把优化问题归结为热传导、热扩散问题。 （2）对于假设（3），为了避免在浴缸中洗澡丧失更多的热量，浴缸的器壁可以看成一个恒温物体，与浴缸中 的水温相同，不进行热量交换，或者交换的热量忽略不计。 2.2 符号的使用和说明 3 符号的说明： c 表示水的比热容 表示水的密度 1S 表示热水龙的的截面面积 1T 表示从水龙头进入浴缸的水的初始温度 , , ,u x y z t 表示浴缸内水温关于空间和时间的函数 表示浴缸内（x,y,z）处水的热流密度的影响系数 4S 表示溢漏水管的截面面积 4T 表示溢出水的温度 3.模型前的准备 3.1 建模前的公式运用准则 解决这一问题的关键之一是认识到水分子的扩散运动，以及热传导的两个方程、一个定理，以及运用能量守恒定律。由此可以得到下列的准则和定理。 准则1：孤立系统的能量永远守恒。 定理 1：净吸收的热量=散发出的热量 显然，净吸热为热源出提供的热量减去流出的热量，散发出的热量为水蒸发和传递给人的热量，能量总体平衡。 准则2：在整个以浴缸、人、热源、空气为整个系统中，满足热传导方程。 定理 2：傅里叶...
