第十一讲无穷级数VIP免费

65 第十一章 无穷级数 一、学习目的与要求 1、 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 2、 熟悉几何级数和 p级数的收敛性。 3、 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 4、 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 5、 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。 6、 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 7、 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 8、 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握)1ln(,cos,sin,xxxe x和nx1的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单函数展为幂级数。 11、 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在ll,和,上的函数展开为傅立叶级数。能将定义在 l,0上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。 3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念:设有无穷数列 n，则称1n＝na 为无穷级数，简称级数。称nknaS1k＝ 为部分和。若SSnnlim存在且有限，则称级数收敛，并称 S为级数的和，若nnSlim不存在或为，则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1）若级数1n＝na ，1n＝nb 收敛，则对任意常数,，11n1nnnnnnbaba＝ 。 （2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。 （3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。 （4）收敛级数的通项nan0。数项级数区分为正项级数0an ，交错级数 0,11nnnnbba及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。 66 3、正项级数的判别法 除开因0limnna而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较判别法：若n充分大时有nnba 0，则当1nnb 收敛时，1nna 也收敛；当1n＝na发散时，1nnb 也发散。 比较判别法的极限形式：若,lim,0,0lbabannnnn则当  l0时，1n＝na 与1n＝nb 有相同的敛散性；当l ＝0时，由1n＝nb 收敛，1nna 也收敛；当l =+ 时，由1n＝nb 发散，1nna 也发散。 比值判别法：若laannn...