1 等积法求三棱锥的体积【教师版】 2 0 1 4 /1 0 /1 4 由于三棱锥是由4 个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。 【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。 例 1 2 例2 ．（2 0 1 1 佛山一中三校联考） 如图，已知三棱锥A—BPC 中，AP⊥PC， AC⊥BC， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM∥平面APC； （Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC； （Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM 的体积． 例2．解：（Ⅰ）由已知得，MD 是 ABP的中位线 APMD ∥ ……………2 分 APCAPAPCMD面面, APCMD面∥ ……………4 分 （Ⅱ）PMB为正三角形，D 为PB 的中点， PBMD ， …………………5 分 PBAP …………………6 分 又PPCPBPCAP,PBCAP面 ……………………7 分 PBCBC面 BCAP 又AAPACACBC,APCBC面 ………………9 分 ABCBC面平面ABC⊥平面APC ………………10 分 （Ⅲ） PBCMD面， MD 是三棱锥M—DBC 的高，且MD＝5 3 …11 分 又在直角三角形PCB 中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝2 21 ………12 分 于是12BCDBCPSS＝2 21 ， ………………………………………………13 分 D BCMV＝71031ShVDBCM …………………………14 分 例3 ．（茂名2 0 1 0 二模）如图，在底 面是菱形的四棱锥S—ABCD 中，SA=AB=2，2 2.SBSD （1）证明：BD 平面SAC； （2）问：侧棱SD 上是否存在点E，使得SB//平面ACE？请证明你的结论； （3）若0120BAD，求几何体A—SBD 的体积。 3 例3．解：（1）四棱锥S—ABCD 底面是菱形， BDAC且 AD=AB， 又 SA=AB=2，2 2.SBSD 222222,SAABSBSAADSD ,SAAB SAAD， 又 ABADA， 2 分 SA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，从而 SA BD 3 分 又 SAACA， BD 平面 SAC。 4 分 （2）在侧棱SD 上存...
