第三套1. 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性时不变的。(1)y(n)=2x(n)+3 (2)y(n)= 0()nmx m解：(1)令：输入为 x(n-0n ) ，输出为'0( )2 ()3y nx nn，因为'00()2 ()3( )y nnx nny n故该系统是时不变的。又因为1212[( )( )]2( )2( )3T ax nbxnax nbxn11[( )]2( )3T ax nax n，22[( )]2( )3T bxnbxn1212[( )( )][( )][( )]T ax nbxnaT x nbT xn故该系统是非线性系统。(2)令：输入为 x(n-0n ) ，输出为'00( )()nmy nx mn，因为0'00()()( )nnmy nnx my n故系统是时变系统。又因为1212120[( )( )](()())[( )][( )]nmT axnbxnaxmbxmaT xnbT xn故系统是线性系统。2. 如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n), 输入 x(n) 是以 N为周期的周期序列，试证明其输出y(n) 亦是以 N为周期的周期序列。证明：y(n)=h(n)*x(n)= ()()mh mx nmy(n+kN)= ()()mh mx nkNm, k 为整数因为 x(n) 以 N为周期，所以：()()x nkNmx nm()() ()( )my nkNh m x nmy n即 y(n) 也是周期序列，且周期为N。 3. 已知 x(n) 又傅立叶变换()jwX e，用()jwX e表示下列信号的傅立叶变换： (1) *1()( )( )2xnx nxn (2) 22( )(1)( )xnnx n解： (1) 因为 DTFT[ *()xn ]=*()jwXe，所以 DTFT[1( )x n ]=*()()2jwjwXeX e=Re[()jwX e] (2) 因为()()jwjwnnXex n e，所以()() ( )jwjwnndX ejn x n edw即 DTFT[nx(n)]= ()()()jwjwdX edX ejj dwdw同理DTFT[12211( )((1)( )),nnh na una u naa]=()()jwdjdX ejdwdw=22()jwd X edw而22 ( )( )2( )( )xnn x nnx nx n ，所以： DTFT[2( )xn ]=DTFT[2 ( )n x n ]-2DTFT[( )nx n ]+DTFT[x(n)] =22()()2()jwjwjwd X edX ejX edwdw 4. 研究一个输入为 x(n) 和输出为 y(n) 的时域线性离散移不变系统， 已知它满足10(1)( )(1)( )3y ny ny nx n ，并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：对给定的差分方程两边作z 变换，得：110( )( )( )( )3z Y zY zzY zX z可求其极点为1213,3zz为了使系统稳定，收敛区域必须包括单位圆，故取1/3<|z|<3, 所以，12211( )((1)( )),nnh na una u naa1213,3aa即可求得31( )[3(1)( )( )]83nnh nunu n5. 设4( )( )x nR n ，6( )(( ))x nx ...
