常微分方程的数值解VIP专享VIP免费

常微分方程的数值解第八章常微分方程的数值解引言引言简单的数值方法简单的数值方法Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法一阶常微分方程组和高阶方程一阶常微分方程组和高阶方程在高等数学中我们见过以下常微分方程：在高等数学中我们见过以下常微分方程：引言00(,)(1)()yfxyaxbyxy(1)0000(,,)(2)(),()yfxyyaxbyxyyxynybyyaybxayyxfy)(,)(),,()3(0(1)(1)，，(2)(2)式称为初值问题，式称为初值问题，(3)(3)式称为边值问题。式称为边值问题。在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：2002212210012111)(),,()(),,()4(yxyyyxfyyxyyyxfy本章主要研究问题本章主要研究问题(1)(1)的数值解法，对的数值解法，对(2)~(4)(2)~(4)只作简单介绍。只作简单介绍。00)(),()1(yxyyxfy（其中（其中LL为为LipschitzLipschitz常数）则初值问题（常数）则初值问题（11））存在唯一的连续解。存在唯一的连续解。2121),(),(yyLyxfyxf考虑一阶常微分方程初值问题考虑一阶常微分方程初值问题其中，其中，yy==yy((xx))是未知函数，是未知函数，yy((xx00)=)=yy00是初值是初值条件，而条件，而ff((xx,,yy))是给定的二元函数是给定的二元函数..由常微分方程理论知，若由常微分方程理论知，若ff((xx))在在xx[[aa,,bb]]连续连续且且ff满足对满足对yy的的LipschitzLipschitz条件：条件：常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分：常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分：单步法：在计算单步法：在计算yynn＋＋11时只用到前一点时只用到前一点yynn的值；的值；多步法：计算多步法：计算yynn＋＋11时不仅利用时不仅利用yynn，还要利用，还要利用yynn-1-1,,yynn-2-2,…….,…….，一般，一般kk步法要用到步法要用到yynn,,yynn-1-1,,yynn-2-2,…….,,…….,yynn--k+1k+1。。求问题（求问题（11）的数值解，就是要寻找解函数在一）的数值解，就是要寻找解函数在一系列离散节点系列离散节点xx11<