1 中点四大模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 ②图①图构造全等倍长类中线倍长中线EEDCBAFFABCDABCDDCBA 模型分析 如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS） 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 模型实例 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接 BE 并延长交AC 于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE． FEDCBA 1 ．如图，在△ABC 中，AB＝1 2 ，AC＝2 0 ，求 BC 边上中线AD 的范围． 2 DCBA 解：延长AD 到E，使AD＝DE，连接BE， AD 是△ABC 的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC 与△EDB 中， DEADBDEADCCDBD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC＝2 0 ， 根据三角形的三边关系定理：2 0 －1 2 ＜AE＜2 0 ＋1 2 ， ∴4 ＜AD＜1 6 ， 故 AD 的取值范围为 4 ＜AD＜1 6 ． 2 ．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2＋CN2＝DM2＋DN2． 求证：AD2＝41(AB2＋AC2)． NMDCBA 证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E，连ME． 3 BD＝DC， ∴ED＝DN． 在△BED 与△CND 中， DNEDCDNBDEDCBD ∴△BED≌△CND（SAS）． ∴BE＝NC． ∠MDN＝90°， ∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM＝MN． ∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE＝90°． ∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°． ∴∠BAC＝90°． ∴AD2＝( 21BC)2＝41（AB2＋AC2）． 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 连接中线ABCDDCBA 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得4 到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，M 为BC 的中点，MN⊥AC 于点N，求MN的长度． NMCBA ABCMN 解答： 连接AM． AB＝AC＝5，BC＝6，点M 为BC 中点， ∴AM⊥BC，BM＝CM＝21BC＝3． AB＝5， ∴AM＝4352222 BMAB． MN⊥AC， ∴S△ANC＝21MC·A...
