习题解答习 题 6－1 1．利用定积分定义计算下列各题： （1）；解 对区间作 等分，，，；（2）．解 对区间作 等分，，，，，因为 ，所以 ，即 ．２．将以下各极限表示成某个函数在某区间上的定积分（１）1解 原式=＝=（２）解 ＝＝ 3．利用定积分的几何意义求下列定积分：（1）（；解 因为表示为一个半圆面积，所以； （2）；解 因 为表 示 为 两 个 三 角 形 面 积 ， 所 以=；（3）．解 因为表示为上直线与 轴围成的平面图形面积之差，用 轴上方的面积减 轴下方的面积，所以2． (4) 解 因为表示为区间上曲线与 轴围成的平面图形面积之差，用 轴上方的面积减 轴下方的面积，所以 =04．已知，利用定积分的几何意义求．解 由定积分的几何意义得．5．设，，，求 （1）； 解 ；（2）；解 因为 ，所以 ；（3）； 解 ；（4）．解 ；6．不计算定积分的值，比较下列各对定积分值的大小：3 （1）与； 解 因为在闭区间上，，所以；（2）与；解 因为在闭区间上，，所以； （3）与；解 因为在上，，>． （4）与； 解 因为在闭区间上，，所以．7．估计下列各积分的值：（1）；解 设，在闭区间上，，即 ，所以 ； （2）； 解 设，，在区间内，，是单调增函数，，，因此， （3）．4解 设，在闭区间上，，是单调减少函数，即有， 所以 ．(4) 解 设，在闭区间上，，是单调增加函数，故有，所以 ≤≤；8． 设及在闭区间上连续，证明： （1）若在上≥ ，且，则在上； （2）若在上≥ ，且 ，则，； （3）若在上≤，且，则在上．证明：（1）反证法 若 使 则 ，由连续函数的局部保号性，必存在的某一邻域5使 （ ）从而 ， (右边三个积分均大于等于零)， 与 矛盾.所以在上；（2）由 知 若 则由（1），矛盾，故 （3）在上，且，所以由（1）得．即．9．设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且满足，证明：在内至少存在一点 ，使得．证明 由积分中值定理，存在，使得，因此有，对函数，由罗尔定理，在内至少存在一点 ，使得．10 ． 设 函 数在 闭 区 间上 可 微 ， 且 满 足6， 证 明 ： 在内 必 有 一 点， 使 得．证明 由积分中值定理，存在，使得，因此有，对函数， ，∴由罗 尔 定 理 ， 在内 至 少 存 在 一 点， 使 得． 即．11. 设函数和在区间上连续，且，。试证：至少存在一点，使得证 令,, 由 函 数和在 区 ...
