几类常见递推数列的解题方法VIP免费

叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 436032 湖北省鄂州市葛店高级中学 廖传尧 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出 an 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如 a1n＝an + f (n)， 其中 f (n) 为关于 n的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例 1：已知数列｛an ｝,a1 ＝0,n∈N ，a1n＝an ＋（2n－1），求通项公式 an ． 解： a1n=an ＋（2n－1） ∴a1n=an ＋（2n－1） ∴a2 －a1 =1 、a3 －a2 =3 、…… an －a1n =2n－3 ∴an = a1 ＋(a2 －a1 )＋(a3 －a2 )＋…＋(an －a1n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3) =21 [1＋(2n－3)]( n－1)=( n－1)2 n∈N 练习1：⑴.已知数列｛an ｝,a1 =1, n∈N ，a1n=an ＋3 n ， 求通项公式 an ． ⑵.已知数列｛an ｝满足 a1 ＝3，)1(21nnaann，n∈N ，求 an ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1nfaann.其中 f (n) =ppcmnbmn)()( （p≠0，m≠0,b –c = km,k∈Z）或 nnaa1 =kn（k≠0）或nnaa1 = km n ( k ≠ 0, 0＜m 且 m ≠ 1)． 例 2：已知数列｛an ｝, a1 =1，an ＞0,( n＋1) a1n2 －n an2＋a1nan =0，求 an ． 解： ( n＋1) a1n2 －n an2＋a1nan =0 ∴ [(n＋1) a1n－nan ](a1n＋an )= 0 an ＞0 ∴ a1n＋an ＞0 ∴ (n＋1) a1n－nan =0 ∴11nnaann ∴nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnnn11212312111232211 练习2：⑴已知数列｛an ｝满足 Sn = 2n an ( n∈N* ), Sn 是{ an } 的前 n项和,a2 =1,求 an ． ⑵.已知数列｛an ｝满足a1n= 3 nan ( n∈N * )，且a1 =1，求an ． 三、逐层迭代递推． 类型三：形如a1n= f (an )，其中f (an )...