1第二章 有限群的表示理论 本章讨论有限元群表示理论；大部分结论对于无限群也成立。这一章是本课程的基础和核心。 ⇒⇔⇔算符体系的属性对称性群论波函数 对称性：一个体系，如果它的几何或物理性质在某种变换之下不变，就说这个体系具有（这种变换之下的）对称性。 经典力学：平移不变性⇒线动量守恒， 旋转不变性⇒角动量守恒。 2量子力学：每个物理可观测量⎯⎯⎯→对应一个厄米算符 每个体系由一个厄米算符描述， 研究厄米算符对称性→揭示体系的本质属性。 群表示论：研究对称性的数学工具。 不讨论细节可得出本质属性（如守恒律，选择定则，能级分裂）。 3附录三 线性空间与线性算符 线性空间——向量空间的推广。 线性算符——线性变换的推广。 1 、线性空间 非空集合V ，其元素间有一个加法运算" "+ 数域 P 中的数及V 中元素间有一个数乘运算" "⋅ 且满足下述八个条件： 1 ）（封闭性），对任何 ,x yV∈，有唯一 zV∈，使 xyz+=。 加法封闭性 4对任何Pα ∈及xV∈，有唯一uV∈使xuα ⋅=。 数乘封闭性2 ）对任何, ,x y zV∈有 xyyx+=+，()()xyzxyz++=++ 加法交换律、结合律3 ）V 有零元素θ ，对任何xV∈有 xxθθ+=+ 加法单位元4 ）对任何xV∈，有元素 xV− ∈，使 () ()xxxxθ+ −= −+= 加法负元5 ）() ()xxαβαβ⋅⋅=⋅ 数乘结合律 56）() xxxαβαβ+⋅=⋅ +⋅ 加法分配律 7）()xyxyααα⋅+=⋅ +⋅ 数乘分配律8）1 xx⋅= 数乘单位元其中,Pα β ∈，称数学系统;;V+ ⋅ 为线性空间，V 中元素为向量。 数域 P 通常就是实数域 R 或复数域C 。 6定义： 线性相关，线性无关 设V 是数域P 上的线性空间，12,,,nx xx"是V 中的n 个向量。如 P 中有 n个不全为 0 的数1 ,,nαα"使 110nnxxαα++=" 则说1 ,,nxx"是线性相关的，否则称线性无关的。 若 n 个向量1 ,,nxx"线性无关，但任何1n + 个向量皆线性相关，则称V 是n 维的。 V 的基向量组：任何 n 个线性无关向量。 V 的基向量1 ,,nxx"，则V 中任一向量x 均可表示为 11nnxxxαα=++" 72、希尔伯特（Hilbert）空间 定义 内积空间 设V 是数域P 上的线性空间，如果V 中的每一对向量x 和y 都对应着P中唯一的一个数，记作(),x y ，且满足下列条件，则(),x y 为向量x 和y的内积。 1） (),0x x ≥；(),0x x =xθ⇔=； 2）() ()*,,x yy x=； 3）...
