实用文档1 平面向量奔驰定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点,AOBAOCBOC,,的面积分别为AS ,BS ,CS ,求证:0???OCSOBSOASCBA如图 2 延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSS A图 1 ODBCDC OBBCBD OCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD图 2CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0???OCSOBSOASCBAOABCDOABC实用文档2 推论 :O 是ABC 内的一点,且0???OCOBOAzyx,则zyxSSSAOBCOABOC::::有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOAO 是ABC 的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0???OCOBOAcbaO 是ABC 的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::02sin2sin2sin???OCCOBBOAAO 是ABC 的垂心实用文档3 CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::0tantantan???OCCOBBOAA证明:如图 O为三角形的垂心,DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB :BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:,CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一.知识梳理:四心的概念介绍:(1) 重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1;(2) 垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;(3) 内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;OCABD实用文档4 (4) 外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1 已知 G 是ABC△所在平面上的一点, 若0GAGBGC,则 G 是ABC△的( ).A.重点B.外心C.内心D.垂心如图⑴ . 2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , ABC, ,是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足()OPOAABAC ,(0),,则 P 的轨迹一定通过ABC△的( ). A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】 由题意()APABAC ,当(0),时,由于()ABAC 表示 BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过ABC△的重心,如图⑵. 3 .O 是△ ABC所在平面内一点,动点P 满足(λ∈( 0,+∞)),则动点 P的轨迹一定通过△ ABC的()A.内心B.重心C.外心D.垂心A'GCAB图⑴图⑵MPCBAO实用文档5 解:作出如图的图形AD⊥BC,由于sinB=sinC=AD,∴=由加法法则知, P在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心故选: B.与“垂心”...