1 / 9 专题15 角含半角模型 破题策略 1． 等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D，E 在BC 上且∠DAE＝45° （1） △BAE∽△ADE∽△CDA （2）BD2＋CE2＝DE2． 45°EABCD 证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB， 所以△BAE∽△ADE∽△CDA． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACF，连结 EF． 45°FEABCD 则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD， 所以△ADE∽△FAE （ SAS ）． 所以 DE＝ EF． 而 CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°， 所以 BD2＋ CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2． 方法二（翻折法）：如图2，作点 B 关于 AD 的对称点 F，连结 AF，DF，EF． 45°FEABCD 因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF， 又因为∠BAD＝∠DAF， 则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC， 所以△FAE∽△CAE（SAS）． 所以 EF＝ EC． 2 / 9 而DF＝BD， ∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°， 所以 BD2＋ EC2＝ FD2＋ EF2＝ DE2． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 上，点 E 在 BC 的延长线上，且∠DAE＝45°，则 BD2＋CE2＝DE2． EABCD 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： EFABCD FEABCD ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 在BC 上，且∠DAE＝12∠BAC，则以 BD，DE，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为 180°－∠BAC． EBCAD 可以通过旋转、翻折的方法将 BD，DE，EC 转移到一个三角形中，如图： FEBCAD FEBCAD 3 / 9 2． 正方形角含半角 如图1，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边BC，CD 上，∠EAF＝45°，连结 EF，则： 45°图1FABCDE 图2GFEABDC 45°图3HFEABDC （1）EF＝BE＋DF; （2）如图2，过点A 作 AG⊥EF 于点G，则 AG＝AD; （3）如图3，连结 BD 交 AE 于点H，连结 FH． 则 FH⊥AE． （1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转 90°得到△ADI 证明． 图4IFEABDC 则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE， 所以△AEF∽△AIF（SAS）， 所以 EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF． （2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF， 所以 AG＝AD． （3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得 A，D，F，H 四点共圆， 从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°， 即 FH⊥AE． 【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45...
