函数的基本性质之单调性 1、函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的单调性与单调区间 函数y)(xf在区间 D 上是增函数或减函数 函数y)(xf在这一区间具有（严格性）单调性 区间 D 叫做y)(xf的单调区间 3.对函数单调性的理解 （1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x . （2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点. （3）单调函数定义的等价变形：)(xf在区间D 上是增函数 任意1x ，2xD，1x ＜2x ，都有 )(1xf)(2xf0)()(2121xxxfxf 0)()()(2121xxxfxf. （4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“ ”而应该用“和”或“，”来连接. 题型一 求函数的单调区间 例 1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y＝ 1x－1的单调递减区间是________. 例 2：画出函数y＝－x2＋2|x|＋3 的图象并写出函数的单调区间. 变式练习1 作出函数1,3)2(1,3)(2xxxxxf 的图象，并指出函数的单调区间. 题型二 函数单调性的判定与证明 利用定义法证明函数单调性的步骤： 第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ； 第二步：作差变形，即作差)()(21xfxf，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21xfxf的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论. 例2 已知函数f(x)＝2－xx＋1，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数. 变式练习1.求证：函数11)(xxf在区间,0上是单调增函数.(定义法) 2.证明函数f(x)＝x＋x1在(0,1)上是减函数． 3.证明函数f(x)＝x2－4x－1 在[2...
