切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接 OC，证明∠OCD＝90º即可． 证明：连接 OC，BC． AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90º． ∠CAB＝30º，∴BC＝21 AB＝OB． BD＝OB，∴BC＝21 OD．∴∠OCD＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC，连接 OC，弦 AD∥OC．求证：CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 证明：连接 OD． OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 图1 O A B C D O A B C D 图2 2 3 4 1 OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又 OB＝OD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC． BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例 3】如图 2，已知 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D．求证：AC 平分∠DAB． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接 OC． CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD． AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2． OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 【例 4...
