第四章 习题课 基本内容 1．线性有界泛函 :fDX 满足()( )( )fxyf xf y，线性． 若xD ，| ( ) ||| ||f xMx．——称 f有界． 2．线性有界泛函的范数 | ( ) ||| || sup || ||xf xfx． || || 1|| || 1|| || sup | ( ) | sup | ( ) |xxff xf x． 共轭空间（Banach空间）*()nnRR，*()pqll，*([ , ])pqL a bL，*HH． 基本定理： ①延括定理：GX是线性子空间，:f GX 是线性有界泛函，则*FX，使（ⅰ）当 xG时，( )( )F xf x； （ⅱ）|||||| ||XGFf． ②两个推论： （Ⅰ）（Hahn—Banach定理）设 X l.n.s，0xX，0x，则*fX ，|| || 1f ，00() ||||f xx． （Ⅱ）设 X l.n.s，GX是线性子空间，0xX，0(,)0d x G ，则*fX ，满足（ⅰ）xG ，( )0f x ； （ⅱ）0()f xd； （ⅲ） |||| 1f ． 3．线性有界算子 1X ，2X ——l.n.s，1DX线性子空间，2:T DX满足 ()( )( )TxyT xT y． 4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理 引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach空间，12()TB XX，且2( )R TX，则T为开映射． ① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach空间，12:TXX满射，可逆的线性有界算子，则T的逆算子1T 是有界算子． ② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach空间，12:( )T D TXX是闭算子，其中( )D T 是1X 的闭子空间，则T是线性有界算子． ③ 共鸣定理：设1X 是Banach空间，2X 是l.n.s.{|}iXiA是一族12XX的线性有界算子，则 {|||||}iTiA有界1xX ，{|||||}iT xiA有界． 6．强收敛与弱收敛 ① l.n.s中的点列的强、弱收敛． （ⅰ）若||||0nxx，称{}nx强收敛于 x ，记为nxx； （ⅱ）若 *fX ，|()( ) |0nf xf x，称*nxx （弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件） *nxx （ⅰ）{||||}nX有界；（ⅱ）**MX（稠密），使*fM ，0|()() |0nf xf x． ④ 算子列的各种收敛性： （ⅰ）一致收敛：||||0nTT； （ⅱ）强收敛：||||0nT xTx； （ⅲ）弱收敛：||()() ||0nf T xf Tx，*2fX ，1xX． 特别泛函列nf ： （ⅰ）强收敛：||||0nff（对应一致...
